2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 00:05 
Провертье пожалуйста решение.
Бокал в форме конуса, угол при вершине которого равен $\beta$ заполняют с одинаковой объёмной скоростью ($u=V/t$). найдите зависимость скорости увеличения уровня воды от времени. Приношу извинения за корявую формулировку, это дословный перевод с другого языка.

$r=h\cdot\tg{\frac {\beta} {2}}$
$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$
$u=\frac {V} {t} \rightarrow V=ut$
$h=\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$
$v=\frac {h} {t} \rightarrow v=\frac {\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}} {t}$
$v(t)=\sqrt[3]{\frac {3u} {\pi t^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 05:01 
Аватара пользователя
uia в сообщении #624974 писал(а):
$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

Вы извлекаете кубический корень и при этом оставляете $h^2$ в знаменателе?

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 08:03 
Аватара пользователя
Потом в самом конце этот $h^2$ магически пропадает, но беда в том, что скорость увеличения уровня не постоянна при постоянной скорости заливки. И скорость надо находить дифференцированием, а не простым делением на время. Хотя ответ изменится немного, на мультипликативную константу. Впрочем, ответ годен для выражения средней по времени, а не моментальной, скорости подъёма уровня.

(Оффтоп)

Интересно, что при прямой пропорциональной зависимости между средней и моментальной скоростью, функция будет степенной, что, конечно, легко видеть по правилу дифференцирования, но должно бы иметь глубокий физический смысл :?:

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 10:48 
Dan B-Yallay в сообщении #624994 писал(а):
uia в сообщении #624974 писал(а):
$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

Вы извлекаете кубический корень и при этом оставляете $h^2$ в знаменателе?

Нет, я просто копировал код и забыл убрать $h^2$

-- 30.09.2012, 11:51 --

gris в сообщении #625012 писал(а):
Потом в самом конце этот $h^2$ магически пропадает, но беда в том, что скорость увеличения уровня не постоянна при постоянной скорости заливки. И скорость надо находить дифференцированием, а не простым делением на время. Хотя ответ изменится немного, на мультипликативную константу. Впрочем, ответ годен для выражения средней по времени, а не моментальной, скорости подъёма уровня.
[/off]

$h=\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$Т.е для нахождения скорости мне необходимо найти $h'$ ?

-- 30.09.2012, 12:37 --

Всё, до меня наконец-то дошло. Спасибо большое за помощь.

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 12:15 
Так где же все-таки скорость изменения уровня воды в конусе?

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 17:42 
Аватара пользователя
Nacuott в сообщении #625097 писал(а):
Так где же все-таки скорость изменения уровня воды в конусе?

$v =h'(t)=…$

 
 
 
 Re: Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.
Сообщение30.09.2012, 20:05 
Имеется ввиду явная формула.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group