Теорема единственности регулярной функции

[give_up]

Нужно показать, что не существует функции $f(z)$, регулярной в некоторой окрестности точки $z=0$ и удовлетворяющией условию (для всех $n=1,2,...$): $\[f\left( {\frac{1}{n}} \right) = \sin \frac{{\pi n}}{2}\]$

Здесь нужно как-то воспользоваться теоремой единственности регулярной функции: если функции $f_1$ и $f_2$ регулярны в области $G$, совпадают в ней на бесконечном множестве точек $E$, имеющем предельную точку в $G$, то эти функции тождественно равны друг другу в области $G$
Но мне непонятно, как именно ей воспользоваться. Помогите с чего здесь начать.

[CptPwnage]

Похоже эта теорема тут ни при чем, можно просто заметить что $f$ должна быть непрерывна в $0$, а предела не существует.

zhoraster:

Формулы необходимо оформлять в ТеХе!

Поправил сам, в следующий раз отделю в карантин или отправлю в корзину.

[give_up]

Спасибо, действительно, для этого примера это верно. Но мне еще нужно доказать то же самое если $\[f\left( {\frac{1}{n}} \right) = \frac{{\cos \pi n}}{n}\]$. Здесь уже есть предел равный нулю, нужно как-то использовать теорему единственности

[zhoraster]

give_up, идея, понятно, в том, чтобы доказать, что $f(z)=z^{-1}\cos z$ для $z\neq 0$. Но непосредственно к $f$ применить теорему единственности не получится, так как $z^{-1}\cos z$ не является регулярной. Можно применить к функции ... Может, сами догадаетесь?

[CptPwnage]

Ну тут тоже просто, чтобы не писать полное решение, намекну: $f$ принимает на $\frac 1 n $ $2$ вида значений, в зависимости от четности $n$, каждое из этих значений на счетном числе точек. И существует ли простая функция которая совпадает с нашей $f$ в этих точках, но не совпадает в остальных?

[give_up]

То есть если взять например регулярную функцию $\[g(z) = z\]$, тогда $\[g\left( {\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{{n}}\] $, совпадает с $f(z)$ при $n=2k,k=1,2,...$, но в точках $n=2k+1$ не совпадает. Откуда следует из теоремы единственности, что $f(z)$ нерегулярна. Верно?

[CptPwnage]

Ага!

[give_up]

Спасибо, теперь ясно стало.