Спектр, преобразование Фурье

[qwertygo]

Добрый день, вопрос теоретический.

Возьмем функции такого вида: $f(x)= \sin (kx)$. Т.е. амплитуда равна $1$, фаза равна нулю.

Возьмем разные $k: 3; 3.5; 3.6$; Все вычисления делались в Mathcad 15.

Вопросы:
1) Правильно ли считать, что непрерывный спектр можно получить с помощью разложение Фурье, но с любыми коэффициентами ( не только целочисленными ) ?
2) Если это так, должны ли быть максимумы соответственно в точках $3; 3.5; 3.6$?
4) Могут ли эти максимумы быть больше $1$ (исходной амплитуды)? Лично у меня для варианта $3.6$ получается $1.026$, для остальных $1$
5) Есть ли связь между квадратами амплитуд в целочисленных точках ($1, 2, 3...$) и исходной амплитуды? Для $3$ сумма квадратов равна $1$. Для $3.5$ видно, что стремится: для первых $100$ членов $0.998$. А вот для $3.6$ для первых ста $1.011$ ($1.011^2 = 1.022$).

P.S. Хотелось бы найти какую-то разъясняющую литературу так же.

[profrotter]

qwertygo в сообщении #624242 писал(а):

1) Правильно ли считать, что непрерывный спектр можно получить с помощью разложение Фурье, но с любыми коэффициентами ( не только целочисленными ) ?

Простите, а что Вы называете спектром?

[qwertygo]

profrotter,
Частотную зависимость амплитуды. В разложении Фурье используются целые значения базисных частот, по которым идет разложение. Но не всегда наглядную картину дают исключительно целые значения. Если подставлять в формулу нахождения коэффициентов нецелые значения "базисных" частот, то получается вполне себе непрерывный график, который проще анализировать. "Базисные" в кавычках, т.к. базис они уже не образуют. Думаю, примерно ту же картину можно было бы получить и с помощью сплайнов. Картину на файлообменник с работу не получилось залить. Было бы более понятно.

-- 28.09.2012, 18:09 --


Вроде получилось. Красным обозначено разложение по базису. Синим то, что я описывал выше

-- 28.09.2012, 18:11 --

Следующим эскизом хотел бы продемонстрировать область выше 1

[profrotter]

qwertygo в сообщении #624397 писал(а):

Если подставлять в формулу нахождения коэффициентов нецелые значения "базисных" частот, то получается вполне себе непрерывный график, который проще анализировать.

Мне думается, там не целые частоты, а кратные частоте повторения сигнала. Если Вы имеете ввиду выражения для коэффициентов ряда Фурье, то есть хотите в их выражения подставлять непрерывную частоту, то да: заменив частоту на непрерывную мы получим огибающую спектральных линий, которая для коэффициентов при косинусе по форме совпадает с косинус - преобразованием Фурье непереиодического сигнала, соответствующего периодическому, а при синусе - по форме совпадает с синус преобразованием Фурье. Возможно ответ на ваш вопрос находится здесь:
post496438.html#p496438
post496712.html#p496712

[qwertygo]

profrotter,
это только часть вопроса. Меня больше интересуют область выше единицы и ее физический смысл.

-- 28.09.2012, 18:40 --

profrotter в сообщении #624401 писал(а):

Мне думается, там не целые частоты, а кратные частоте повторения сигнала.

Мне кажется, что в случае интервала $[-\pi, \pi]$ и разложение по $\sin (nx)$ и $\cos (nx)$, $n$ именно что будет принимать целые значение, т.е. в данном случае это одно и то же. Нет?

[profrotter]

qwertygo в сообщении #624409 писал(а):

что в случае интервала [-п, п] и разложение по sin( n x ) и cos ( n x ), n именно что будет принимать целые значение

Да.
К сожалению больше не чем не могу помочь, ибо не понимаю ваших вопросов.

Ещё одно важное на этом форуме. Слева от окна ввода, из которого Вы набираете сообщения (под смайликами), есть ссылки на темы, где рассказано как набирать формулы. Этому надо научиться, иначе придут модераторы и будут свирепствовать.

[Pavia]

Цитата:

1) Правильно ли считать, что непрерывный спектр можно получить с помощью разложение Фурье, но с любыми коэффициентами ( не только целочисленными ) ?

Непрерывность для ряда коэффициентов не определена.

Цитата:

Меня больше интересуют область выше единицы и ее физический смысл.

Ошибки в вычислениях. Больше единицы быть не может.

Цитата:

Мне думается, там не целые частоты, а кратные частоте повторения сигнала.

Автор не сказал, как он сигнал трактует как непрерывный периодический или как ограниченный сигнал.
Или вовсе как бесконечный.

[Esp_]

Вопросы сформулированы не совсем понятно.
Отвечаю так, как я понял:

Цитата:

Правильно ли считать, что непрерывный спектр можно получить с помощью разложение Фурье, но с любыми коэффициентами ( не только целочисленными ) ?

Если речь идет о дискретном преобразовании фурье, то вы не получаете непрерывный спектр, а получаете его приближение, в зависимости от числа коэффициентов. Именно поэтому ваш всплеск спектральной плотности "неровный".

Цитата:

2) Если это так, должны ли быть максимумы соответственно в точках 3; 3.5; 3.6?

Это в любом случае должно быть так, по крайней мере начиная с некоторого количества коэффициентов фурье.

Цитата:

4) Могут ли эти максимумы быть больше 1 (исходной амплитуды)? Лично у меня для варианта 3.6 получается 1.026, для остальных 1

Это всего лишь вопрос нормировки. Спектральная плотность, на сколько я помню ЦОC, вовсе не обязана быть равна амплитуде, она всего лишь ей пропорциональна

qwertygo в сообщении #624242 писал(а):

Есть ли связь между квадратами амплитуд в целочисленных точках (1, 2, 3...) и исходной амплитуды?

Поскольку это зависит от количества отчетов, то связь не так тривиальна в общем случае. Как мне думается, не так тяжело получить верхнюю и нижнюю границы спектральной плотности.

[epros]

qwertygo в сообщении #624397 писал(а):

В разложении Фурье используются целые значения базисных частот, по которым идет разложение.

В формуле преобразования Фурье нет никаких "базисных частот". Объясните что это такое.

qwertygo в сообщении #624397 писал(а):

Если подставлять в формулу нахождения коэффициентов нецелые значения "базисных" частот,

Приведите пожалуйста эту формулу. Я знаю что такое "преобразование Фурье" и что такое "ряд Фурье". И это разные, вообще говоря, вещи. А то о чём Вы говорите, никому не ведомо.

Похоже, что у Вас базовые понятия о "спектрах" отсутствуют. Так, слышали что-то краем уха из пятых рук... Так что давайте для начала определимся с понятиями.

[Esp_]

epros в сообщении #625565 писал(а):

И это разные, вообще говоря, вещи.

Вы правы, ТС, сформулировал не достаточно корректно, однако смысл ясен.
Есть ли связь между Рядом Фурье и преобразованием Фурье ? - Есть.

То что подставляется в комплексную экспоненту - это и есть базисные частоты, в определенном смысле.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Computer Science» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[epros]

Esp_ в сообщении #625629 писал(а):

Есть ли связь между Рядом Фурье и преобразованием Фурье ? - Есть.

Я знаю. Но вряд ли это поможет топикстартеру, если он не определится с ответами на заданные мной вопросы. Пытаться угадать за него, что он имел в виду, я полагаю не очень правильным.

Esp_ в сообщении #625629 писал(а):

То что подставляется в комплексную экспоненту - это и есть базисные частоты, в определенном смысле.

Хе-хе. То, что подставляется в комплексную экспоненту в формуле преобразования Фурье - это вообще любые частоты, включая дробные, иррациональные и отрицательные. Чего топикстартер, очевидно, не понимает.

Я так подозреваю, что он именует "спектром" формулу разложения в ряд Фурье. При этом он, вероятно, не понял, что она выведена для сигнала, определённого на отрезке конечной длины.