параметры

[MayorBarbariska]

здравствуйте, помогите разобраться с одним примером:
найти все значения $a$, при которых $f'(x)\ge0$ для всех действительных чисел $x$, если $f(x)=x^3+3x^2+ax$. я построил график производной функции и по нему было видно, что при $a\ge3$ функция принимает необходимые значения, то есть ответ $a\ge3$, но в ответах написано, что $a\ge1$.
вообще я никак не могу научиться решать задачи с параметрами, может кто-нибудь знает чудо-задачник, где подробно разбираются подобные задания.

[gris]

Производную посчитать несложно. Можно выделить в ней полный квадрат или найти минимум. Ваш ответ правильный.

[MayorBarbariska]

спасибо, в учебнике все ответы спутаны, уже не первый раз такое.

[MayorBarbariska]

вот еще одно:
найти все значения $a$, при которых $f'(x)<0$ для всех действительных значений $x$ , если $f(x)=ax^3-6x^2-x$.
сначала нашел производную $f'(x)=3ax^2-12x-1$, затем приравнял ее к нулю, но из этого ничего не получилось, если полный квадрат выделять, то что-то неадекватное выходит, в общем помогите пожалуйста разобраться.

[gris]

Что представляет собой график производной? Как и в первом случае — параболу. В первом случае она у нас была ветвями вверх, и для того, чтобы график лежал не ниже оси абсцисс достаточно того, чтобы у производной не было различных корней, или чтобы вершина параболы, то есть минимум производной, был неотрицательным.
То же самое и здесь. Только производная должна быть строго отрицательной. Парабола, положение которой зависит от параметра $a$, должна целиком лежать ниже оси абсцисс. Куда должны быть направлены её ветви? Вы приравнивали её к нулю и правильно. Но для чего?

Эти две задачи, впрочем, легко решаются именно из-за того, что в школе мы хорошо знаем свойства параболы. А в общем виде нам надо было бы найти абсолютный максимум (или минимум) производной и проанализировать, при каких $a$ он положителен, при каких отрицателен. Для этого пришлось бы находить производную от производной и её приравнивать к нулю. Подозреваю, что Вы именно это и хотели сделать. Только надо было приравнивать нулю $(3ax^2-12x -1)'=6ax-12$.
А может быть Вы хотели узнать, когда производная не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля. Тоже правильно. В общем, способов решения много и лучше разобраться, как они действуют.

[Shtorm]

MayorBarbariska, короче приравнивайте к нулю Вашу производную и находите выражение для дискриминанта.

[alcoholist]

$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно

[Shtorm]

alcoholist, а Вы забыли про влияние значения параметра $a$??

[alcoholist]

Shtorm

не забыл: рогами вниз же

[ewert]

alcoholist в сообщении #623872 писал(а):

$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно

Ну не при всех же $a$. Даже не при всех отрицательных, очевидно.

[gris]

alcoholist, у параболы же хвост, как у кометы. Разве рога у неё бывают?

[alcoholist]

ewert в сообщении #623881 писал(а):

Ну не при всех же $a$. Даже не при всех отрицательных, очевидно.

Что не при всех $a$? Что даже?

[Shtorm]

alcoholist, ну возьмите $a=1$, рога-то вверх будут!!!

[ewert]

alcoholist в сообщении #623885 писал(а):

Что не при всех $a$? Что даже?

Очевидно же даже безо всякого счёта, что при достаточно маленьких значениях параметра корни будут существовать независимо даже от знака. Просто потому, что в пределе парабола вырождается в прямую.

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #623872 писал(а):

$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно

Вполне разумная фраза, я бы тоже так объяснял. Только ещё предварительно бы заметил, что в случае $a=0$ (когда параболы нет) всё ясно.