2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 параметры
Сообщение25.09.2012, 19:06 
Аватара пользователя
здравствуйте, помогите разобраться с одним примером:
найти все значения $a$, при которых $f'(x)\ge0$ для всех действительных чисел $x$, если $f(x)=x^3+3x^2+ax$. я построил график производной функции и по нему было видно, что при $a\ge3$ функция принимает необходимые значения, то есть ответ $a\ge3$, но в ответах написано, что $a\ge1$.
вообще я никак не могу научиться решать задачи с параметрами, может кто-нибудь знает чудо-задачник, где подробно разбираются подобные задания.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение25.09.2012, 19:19 
Аватара пользователя
Производную посчитать несложно. Можно выделить в ней полный квадрат или найти минимум. Ваш ответ правильный.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение25.09.2012, 19:26 
Аватара пользователя
спасибо, в учебнике все ответы спутаны, уже не первый раз такое.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение25.09.2012, 23:52 
Аватара пользователя
вот еще одно:
найти все значения $a$, при которых $f'(x)<0$ для всех действительных значений $x$ , если $f(x)=ax^3-6x^2-x$.
сначала нашел производную $f'(x)=3ax^2-12x-1$, затем приравнял ее к нулю, но из этого ничего не получилось, если полный квадрат выделять, то что-то неадекватное выходит, в общем помогите пожалуйста разобраться.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение26.09.2012, 07:19 
Аватара пользователя
Что представляет собой график производной? Как и в первом случае — параболу. В первом случае она у нас была ветвями вверх, и для того, чтобы график лежал не ниже оси абсцисс достаточно того, чтобы у производной не было различных корней, или чтобы вершина параболы, то есть минимум производной, был неотрицательным.
То же самое и здесь. Только производная должна быть строго отрицательной. Парабола, положение которой зависит от параметра $a$, должна целиком лежать ниже оси абсцисс. Куда должны быть направлены её ветви? Вы приравнивали её к нулю и правильно. Но для чего?

Эти две задачи, впрочем, легко решаются именно из-за того, что в школе мы хорошо знаем свойства параболы. А в общем виде нам надо было бы найти абсолютный максимум (или минимум) производной и проанализировать, при каких $a$ он положителен, при каких отрицателен. Для этого пришлось бы находить производную от производной и её приравнивать к нулю. Подозреваю, что Вы именно это и хотели сделать. Только надо было приравнивать нулю $(3ax^2-12x -1)'=6ax-12$.
А может быть Вы хотели узнать, когда производная не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля. Тоже правильно. В общем, способов решения много и лучше разобраться, как они действуют.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:34 
Аватара пользователя
MayorBarbariska, короче приравнивайте к нулю Вашу производную и находите выражение для дискриминанта.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:39 
Аватара пользователя
$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:43 
Аватара пользователя
alcoholist, а Вы забыли про влияние значения параметра $a$??

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:44 
Аватара пользователя
Shtorm

не забыл: рогами вниз же

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:51 
alcoholist в сообщении #623872 писал(а):
$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно

Ну не при всех же $a$. Даже не при всех отрицательных, очевидно.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:53 
Аватара пользователя
alcoholist, у параболы же хвост, как у кометы. Разве рога у неё бывают?

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 11:54 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #623881 писал(а):
Ну не при всех же $a$. Даже не при всех отрицательных, очевидно.



Что не при всех $a$? Что даже?

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 12:12 
Аватара пользователя
alcoholist, ну возьмите $a=1$, рога-то вверх будут!!!

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 12:15 
alcoholist в сообщении #623885 писал(а):
Что не при всех $a$? Что даже?

Очевидно же даже безо всякого счёта, что при достаточно маленьких значениях параметра корни будут существовать независимо даже от знака. Просто потому, что в пределе парабола вырождается в прямую.

 
 
 
 Re: параметры
Сообщение27.09.2012, 12:29 
alcoholist в сообщении #623872 писал(а):
$3ax^2-12x-1<0$ при всех $x$ -- парабола смотрит рогами вниз и экстремальное значение отрицательно
Вполне разумная фраза, я бы тоже так объяснял. Только ещё предварительно бы заметил, что в случае $a=0$ (когда параболы нет) всё ясно.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group