dx и dy

[Nagva1]

Цитата: Пусть $y=f(x)$ - действительная функция действительного переменного $x$, определенная в некоторой окрестности точки $x$. Первая производная (производная первого порядка) функции $f(x)$ по x в точке x есть предел
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x))}{\Delta x}\equiv \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\equiv \frac{dy}{dx}$

Вроде бы это азы, но мне непонятно.. откуда 3е равенство? Если $\Delta y=dy, а \Delta x = dx$, то.. для каких $dx$ (и отвечающих ему $dy$) это верно? Не для любых же?

[Nemiroff]

Цитата:

$\Delta y=dy$

Нет.
$\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x) = A(x)\Delta x+\varepsilon(x,\Delta x)$, где $\dfrac{\varepsilon(x,\Delta x)}{\Delta x} \to 0$ при ${\Delta x} \to 0$.
Так вот, $A(x)\Delta x = dy$, а $\Delta x = dx$ А $A(x)$ будет производной.

[ewert]

Nagva1 в сообщении #623511 писал(а):

.. откуда 3е равенство?

Во-первых, там нет 3-го равенства. Во-вторых, там вообще нет ни одного равенства, есть тождества. Т.е. равны друг другу все три выражения по определению (точнее, по обозначению).