2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 14:23 
Наверное, корректно будет сказать, что я предложил некоторую серию решений.
В принципе, я понял, что наличие ВСЕХ решений надо отдельно еще доказать.
А что можно сказать о связи натурального числа и его делителей?

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 14:38 
Все решения перечисляются очевидным образом: $(a,b,c)=(a,b,a^2-b^2)$

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 14:53 
Конечно! Тогда Пифагоровы решения записываются $(a,b,a^2+b^2)$ :lol:
Ой! Что-то я сморозил... :oops:

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 15:13 
Аватара пользователя
Более культурная постановка: определить, для каких с решение существует, и найти все такие решения. Правильный ответ:
для всех с, кроме единицы, двойки и четверки.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 15:16 
shwedka в сообщении #622974 писал(а):
Более культурная постановка: определить, для каких с решение существует, и найти все такие решения. Правильный ответ:
для всех с, кроме двойки.

Очевидно для $c\not =2 \mod 4$, так как для этого надо разложить с на два множителя одинаковой четности $c=c_1c_2$ и получить решение $a=\frac{c_1+c_2}{2},b=\frac{c_1-c_2}{2}.$

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 15:25 
Аватара пользователя
Руст в сообщении #622975 писал(а):
shwedka в сообщении #622974 писал(а):
Более культурная постановка: определить, для каких с решение существует, и найти все такие решения. Правильный ответ:
для всех с, кроме единицы ,двойки и четверки.

Очевидно для $c\not =2 \mod 4$, так как для этого надо разложить с на два множителя одинаковой четности $c=c_1c_2$ и получить решение $a=\frac{c_1+c_2}{2},b=\frac{c_1-c_2}{2}.$


совершенно верно. Еще нужно исключить 1 и 4

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 15:38 
shwedka в сообщении #622977 писал(а):
Еще нужно исключить 1 и 4
Если искать решения в целых числах (что в данном случае естественнее), то и это не понадобится.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 15:56 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #622980 писал(а):
shwedka в сообщении #622977 писал(а):
Еще нужно исключить 1 и 4
Если искать решения в целых числах (что в данном случае естественнее), то и это не понадобится.

А почему естественнее?
Традиционно диофантовы уравнения решают в натуральных числах. Чем это особо?

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 17:21 
shwedka в сообщении #622985 писал(а):
Чем это особо?
Потому что это вопрос о представлении чисел формой (в данном случае --- бинарной формой 2-й степени). В общем случае вопрос о представлении чисел бинарными квадратичными формами $f(x,y)$ с $x,y \in \mathbb{Z}$ нетривиален, а обрезание $\mathbb{Z}$ до $\mathbb{N}$ его только запутывает. Сравните критерии представимости чисел суммой двух квадратов в этих двух постановках: над $\mathbb{Z}$ всё гораздо проще и естественнее, чем над $\mathbb{N}$ (и это при том, что форма $x^2+y^2$ не доставляет особых хлопот при переходе от $\mathbb{Z}$ к $\mathbb{N}$). Другой пример: решать уравнения Пелля $x^2-Ay^2=B$ гораздо удобней в целых числах, чем в натуральных (т.е. множество решений в целых числах Вам достанется сравнительно легко, а вот чтобы выделить в нём решения в натуральных числах --- придётся дополнительно поработать).

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 18:00 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #623010 писал(а):
а вот чтобы выделить в нём решения в натуральных числах --- придётся дополнительно поработать

Вот и хорошо. Работать полезно. А, что, и уравнение ВТФ Вы хотите в целых числах решать? Допущение нуля задачу тривиализует.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.09.2012, 18:26 
shwedka в сообщении #623020 писал(а):
А, что, и уравнение ВТФ Вы хотите в целых числах решать?
Уж не принимаете ли Вы меня за ферматиста? По-моему, я вполне точно выразился и объяснил, почему в данном случае естественнее решать уравнение в целых числах. Конечно, никто не запрещает решать и в натуральных, если зачем-то нужно. Просто для уравнений такого типа обычно бывает так, что сначала это уравнение всё равно приходится решать в целых числах. Поэтому естественней именно такая постановка задачи --- решить в целых числах.

-- Пн сен 24, 2012 22:29:59 --

shwedka в сообщении #622974 писал(а):
Правильный ответ:
для всех с, кроме единицы, двойки и четверки.
Вот если бы решали в целых числах, вряд ли бы получили такой "правильный" ответ.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение25.09.2012, 10:22 
Побережный Александр в сообщении #622884 писал(а):
Соответственно, если обратиться к теме разложения числа на множители, то появляется связь числа со своими делителями.
Пусть нечетное натуральное $N=pq$, где $p, q $ делители $N$. Тогда

$(N+1)^2=(p+q)^2+(p^2-1)(q^2-1)$


Почему я не увидел мнений по свойству делителей натурального числа? Такого свойства не встречал в литературе. Тем более, что свое частное решение диофантового уравнения получил, работая по факторизации натурального числа. Мне кажется, что оно стоит того, чтобы обратить на него внимание.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение25.09.2012, 12:57 
Может потому, что никаких свойств делителей здесь нет?
Вы подметили тождество
$(xy+1)^2-(x+y)^2=(x^2-1)(y^2-1)$
Выглядит симпатично, но не более того.
Вы можете объяснить - какую вы здесь видите ценность?

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение25.09.2012, 13:27 
xmaister в сообщении #622921 писал(а):

(Оффтоп)

А можно ли найти явно поле рациональных функций многообразия $X\subset\mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$, определённого уравнением $x^2+y^2-z=0$?

(Оффтоп)

А чего искать-то, это ваше $X$ попросту изоморфно $\mathbb{A}^2$

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение25.09.2012, 16:25 
Предлагаю найти все решения в натуральных числах уравнения $x^2-y^2=z^4$.
И А.О. Гельфонд и В.Серпинский оставили это для читателя.

 
 
 [ Сообщений: 72 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group