Система арифметико-функциональных уравнений

[Ktina]

Одна из самых красивых задач, когда-либо встречавшихся мне.

Пусть $d(N)$ - количество цифр в десятичной закиси натурального числа $N$.
Решить систему уравнений

$$\begin{cases} d(n)+d(m)=n \\ n+m+d(k)=k \\ d(n)+d(m)+d(k)=m-4\\ \end{cases}$$

в натуральных числах $n, m, k$.

[_Ivana]

$n = 2, m = 8, k = 12$
Без компьютера, с листочком бумаги. Но единственность ответа далеко не гарантирую

[Ktina]

_Ivana в сообщении #622643 писал(а):

$n = 2, m = 8, k = 12$
Без компьютера, с листочком бумаги. Но единственность ответа далеко не гарантирую

Это как раз то решение, которое бросается в глаза почти сразу.
А вот в ответе на вопрос о его единственности и заключается красота данной задачи.

[nnosipov]

Как-то всё равно не особо интригует: ведь $d(n)$ --- это банальный логарифм.

[_Ivana]

Мне кажется, любую задачу можно решить как красиво так и не очень. Но когда получается красивое решение - этот эпитет переносится и на саму задачу Мое не особо красивое, но вполне себе решение:
легко показать, что
$n<m<k \Rightarrow d(n) \leqslant d(m) \leqslant d(k)$ далее из уравнений получаем
$k = 2d(n) + 2d(m) + 2d(k) + 4 \Rightarrow k \leqslant 4 + 6d(k) \Rightarrow d(k) \leqslant 2 \cup k \leqslant 16$ далее
$n = d(n) + d(m) \Rightarrow n \leqslant 4 \Rightarrow d(n) = 1$ далее
$m = d(n) + d(m) + d(k) + 4 \Rightarrow m \leqslant 9 \Rightarrow d(m) = 1 \Rightarrow n = 2 \cup m = 8$

[Ktina]

У меня вышло так:

$k=n+m+d(k)=d(n)+d(m)+d(n)+d(m)+d(k)+4+d(k)=2m-4$
Из сего следует $n<m-4$
Посему, "значность" числа $n$ не превышает "значность" числа $m$, а "значность" числа $k$ может превышать "значность" числа $m$ не более, чем на единичку.
Таким образом, $d(n)+d(m)+d(k)=m-4\to 3d(m)+5\ge m$
Отсюда следует, что $m\le 11$
Также $m\ge 7$, так как все числа -- натуральные.
Значит, $m$ либо однозначно, либо двузначно, $k$ только двузначно, а $n$ только однозначно.
Пусть $m$ двузначно. Тогда $d(n)+d(m)+d(k)=m-4\to 1+2+2+4=m=9$. А 9 не двузначно. Противоречие.
Пусть $m$ однозначно. Тогда $d(n)+d(m)+d(k)=m-4\to 1+1+2+4=m=8$, а также $d(n)+d(m)=n \to 1+1=n\to n=2$, а так как $k=2m-4$, имеем $k=12$.

Ответ: $n=2, m=8, k=12$ и это решение единственно.

[_Ivana]

То же жонглирование числами, только сбоку Правда, насчет особенной красоты не готов согласиться.

[Ktina]

_Ivana в сообщении #622717 писал(а):

То же жонглирование числами, только сбоку Правда, насчет особенной красоты не готов согласиться.

Если рассуждать в стиле носовского Пачкули Пёстренького, решение данной задачи сводится к парочке подстановок, парочке тождественских преобразований и парочке логических соображений $\to$ задача на уровне кружка.

Правда, встретила я её отнюдь не на кружке, но здесь.

[Профессор Снэйп]

Меня название темы удивило. Где там функциональные уравнения?

[nnosipov]

Видимо, имелась в виду система уравнений, в записи которых участвуют арифметические функции.

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #622853 писал(а):

Меня название темы удивило. Где там функциональные уравнения?

nnosipov в сообщении #622891 писал(а):

Видимо, имелась в виду система уравнений, в записи которых участвуют арифметические функции.

Совершенно верно.