Монотонность

[Falex]

Кстати,прикольная вещь получилась с

Цитата:

К вопросу о том, как я рисую.

Но а как такую красоту как Вы нарисовали в последнем посте изобразить?

[Алексей К.]

Векторочки:

$$ \begin{array}{lll} GC:\quad& u_1=\hphantom{-}p_1-p\cos t,\quad& v_1=q_1-q\sin t,\\ GD:\quad& u_2=-p_1-p\cos t,\quad& v_2=q_1-q\sin t. \end{array} $$

Как вы правильно заметили, достаточно исследовать на экстремум угол $CGD$:

$$ \begin{array}{l} \theta=\angle CGD,\\ \sin\theta=\frac{u_1v_2-u_2v_1}{\sqrt{u_1^2+v_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2}} =\frac{2p_1 (q_1-q\sin t)}{\sqrt{u_1^2+v_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2}},\\ \cos\theta=\frac{u_1u_2+v_1v_2}{\sqrt{u_1^2+v_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2}}. \end{array} $$

Т.е. любой его триг. функции. Тангенс выглядит проще всего.
Производная=0 приводит к уравнению

$$ 2p_1\cos t [q(q_1^2+p_1^2)-qp^2\cos^2 t-2q_1(q^2+p^2)\sin t +q^3\sin^2 t-2qp^2\sin^2 t]=0 $$

Получим $t=\pi/2$ --- очевидный экстремум в точке $H$
(очевидный, потому что функция симметрична относительно оси OY,
и потому никак не может быть монотонной).

Не забудем, что точка $(p_1,q_1)$ лежит на елипсе. Поэтому

$$ \frac{p_1^2}{p^2}+\frac{q_1^2}{q^2}=1\quad \Longrightarrow p_1^2=p^2\left(1-\frac{q_1^2}{q^2}\right) $$

Подстановка $p_1^2=\ldots$. Ну и $\cos^2=1-\sin^2$.
Остаток уравнения превращается в $(q\sin t-q_1)^2=0$. Уравнение легко решается,
$\sin t=q_1/q$, но это точки $C$ и $D$.
Между $H$ и $C/D$ экстремумов нет.

Сделано на скорую руку, не проверено, ошибки опечатки возможны

[Falex]

Почему же угол $A,G,B$...надо угол $C,G,D$

Добавлено спустя 4 минуты 29 секунд:

Цитата:

очевидный, потому что функция симметрична относительно оси OY,
и потому никак не может быть монотонной

Эт понятно.А она не будет монотонной не на дуге $D,H,C$,а на половинке его дуге $H,C$?

Добавлено спустя 3 минуты 7 секунд:

Если нет эктремумов на $H,C$,то получает,что угол монотонный!

[Алексей К.]

Falex писал(а):

Почему же угол $A,G,B$...надо угол $C,G,D$

Опечатки в комментариях. В расчётах --- CGD. Поправил.

Добавлено спустя 1 час 59 минут 26 секунд:

Falex писал(а):

Если нет эктремумов на $H,C$,то получает,что угол монотонный!

Картинки рисуются непосредственным программированием на языке PostScript ---
пример с архимедовой спиралью я приводил ранее. Естественно, за долгие годы пользования накопилась некая библиотека.

Ниже --- сто лет назад написанная программка (я тогда не умел ещё их комментировать), в которой рисуется кривая по заданному натуральному уравнению $k=k(s)$. Принтер его интегрирует, получает
$\tau(s)=\int k(s) {\mathrm d}s$, $x(s)=\int \cos \tau(s) {\mathrm d}s$, $y(s)=\int \sin \tau(s) {\mathrm d}s$
и рисует. Т.е. этот пример надо скопировать в файл Chezaro.ps :

%!PS 
/Nat_curve {%  {k(s)} S tau0 x0 y0  Nat_curve 
16 dict begin 
  /Nd 10 def /h currentlinewidth 4 div def /ds h 3 mul def /rad 57.295779513 def 
  /maxabs {abs exch abs 2 copy lt {exch} if pop} bind def 
  gsave translate rotate newpath 0 0 moveto   /s2 exch def /Ks exch def 
       [/s /x /y /t] {0. def} forall   
       {/kmax s Ks s ds add Ks maxabs def  /dds 8 h mul kmax div sqrt def         
        dds ds gt {/ds dds ds div 2 gt {ds 2 mul} {dds} ifelse def}               
        {/ds dds def} ifelse     
        /ss s ds add def ss s2 gt {/ds s2 s sub def /ss s2 def} if
        /dds ds Nd div def     
        Nd {/t t s Ks  dds mul rad mul add def         
            /x x t cos dds mul add def         
            /y y t sin dds mul add def /s s dds add def
         } repeat     
        x y lineto  /s ss def     
        currentpoint stroke currentrgbcolor 3 1 roll setrgbcolor moveto     
        s s2 ge {exit} if kmax h mul 1 gt {exit} if   } loop 
   grestore 
end}  def 
%---------------------------------------------------------End of Prologue 
/TimesRoman findfont 30 scalefont setfont 

%------------------------------------------------------------ 1-st Picture 
gsave    0.75 dup scale    200 930 moveto (k\(s\) = Const + A*sin\(B*s\) ) show     
1.5 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor    
{sin 0.3 add 50 div}  bind 8100 0 500 180  Nat_curve    
{sin 0.75 add 50 div} bind 8000 0 500 800  Nat_curve     
{sin 0.5 add 50 div}  bind 7380 0 460 670  Nat_curve 
grestore showpage 

%---------------------------------------------------------------- 2-nd Picture 
gsave    100 600 moveto (Cornu spiral: k\(s\) = A*s ) show    
1.5 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor    
{30000 div} bind 2000  90 250 300  Nat_curve    
{30000 div} bind 2000 -90 250 300  Nat_curve 
grestore showpage 

%----------------------------------------------------------------  3-rd Picture 
gsave    100 600 moveto ( k\(s\) = 1/R = Const  \(Smax=100 circles\)) show    
1.5 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor    
{ pop 0.005 } 6.28 200 mul 100 mul 0 270 100 Nat_curve grestore showpage 

А примеры для этих эллипсов я не привожу --- они тянут кучу библиотек (стрелочки, окружности через 3 точки, picture/figure/plotting environment, etc)

[Falex]

С ума сойти:а есть книжка для изучения такой красоты?

Спасибо. А вот там,где определили,что при $t=\pi/2$ достигается экстремум...там же больше таких $t$ нет,для которых производная =0...так отсбда следует,что больше эетремумов нет...
(вы брали производную тагненса?)
А аак найти этот максимальный уголок,если знать $p,q,\varphi$?

[Алексей К.]

Falex писал(а):

С ума сойти:а есть книжка для изучения такой красоты?

Ну, я просто нарисаовал красивую картинку на красивом языке программирования.
Но красоту языка мои примеры никак не демонстрируют. Скорее, отпугнуть могут.
Книг на английском встечал много, например, Thinking in PostScript. В Интернете при желании можно много наковырять. Не надо только начинать с формального Reference Manual.

Falex писал(а):

так отсбда следует,что больше эетремумов нет...

Вроде да.

Falex писал(а):

(вы брали производную тагненса?)

Я брал производную дома, поздно вечером, утром принёс её на работу и отправил Вам. Кажется, это была производная тангенса. Я опустил некотрые обосновательные слова (тупость угла позволяет брать произв. любой ф-ции, итд, $(\tan t)^\prime=\frac{t^\prime}{\cos^2 t}$, ...)

Falex писал(а):

А аак найти этот максимальный уголок,если знать $p,q,\varphi$?

Вы спрашиваете, как найти $\angle CHD$???

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Да уж, Интернет етот --- столько повозились, и не знать, --- кто етот мой собеседник, решаюший задачку, прямо скажем, не совсем по зубам, и где он её отковырял (не похожа на задачку из учебника)... забавно это. Но я никаких вопросов никому не задавал, просто вякнул чего-то...

Добавлено спустя 5 минут 59 секунд:

И почему к нам никто не присоединился???

[neo66]

Алексей К. писал(а):

И почему к нам никто не присоединился???

Не хотелось мешать идиллии.

Может не стоило огород городить?

Если через две точки $A$ и $B$ проходит кривая, кривизна которой монотонно меняется от $A$ к $B$. И если через эти точки проходит дуга окружности, то эти две кривые пересекаются не более чем в одной внутренней точке. Из этого с очевидностью следует монотонность радиуса окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и переменную точку на нашей кривой. Я прав?

Нет, кажется не совсем та задача. Но, все равно верно. Нетрудно выяснить, что дуга окружности, проходящей четез точки $A$ и $B$ пересекает дугу $BH$ не более, чем в одной точке. Из чего и следует монотонность.

[Алексей К.]

neo66 писал(а):

Может не стоило огород городить?

Может не стоило... Со мной всё чаще случается в воробушка из пушки палить...
Оттого и хотелось, чтоб кто-то встрял и остановил.

neo66 писал(а):

Если через две точки $A$ и $B$ проходит кривая, кривизна которой монотонно меняется от $A$ к $B$.

Но у нас кривизна менялась не монотонно: между $A$ и $B$ была вершинка $H$.
Потому мне и хотелось, чтобы действо происходило на четвертинке, т.е. на хорде $AH$.

neo66 писал(а):

Если через две точки $A$ и $B$ проходит кривая, кривизна которой монотонно меняется от $A$ к $B$ И если через эти точки проходит дуга окружности, то эти две кривые пересекаются не более чем в одной внутренней точке. Из этого с очевидностью следует монотонность радиуса окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и переменную точку на нашей кривой. Я прав?

Видимо, да... Пойду-ка на перекур, подумаю.

Добавлено спустя 34 минуты 4 секунды:

Клянусь, что черная кривая --- с супермонотонной кривизной (спираль Корню),
а две окружности --- одинакового радиуса...

[neo66]

Да, насчет монотонности радиуса, я в общем случае неправ. Но угол $CGB$ в исходной задаче монотонен при изменении $G$ от $B$ до $H$. И, для исходной задачи монотонность этого угла и монотонность радиуса окружности эквивалентны.

[Falex]

Алексей К., см.

$$ sin(\theta) = \frac{(2p_1)(q_1 - q\sin(t))}{\sqrt{u_1^2+v_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2}}, $$

$$ cos(\theta) = \frac{-2p\cos(t)}{\sqrt{u_1^2+v_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2}}, $$

$$ tan(\theta)=\frac{-p_1}{p\cos(t)}=\frac{cos(t_1)}{cos(t)}. $$

Дык откуда здесь получается такая большая производная да еще и с параметрами $p,q,p_1,q_1$?

[Алексей К.]

neo66 писал(а):

Да, насчет монотонности радиуса, я в общем случае неправ. Но угол ... в исходной задаче монотонен.

Это отзвуки более общего явления: кривая с монотонной кривизной (не обязательно знакопостоянной; красная кривая) "монотонно перепрыгивает" с одной синей окружности на следующую.
Или --- такая кривая описывается однозначной функцией $\rho(\varphi)$ в биполярных координатах:



Добавлено спустя 35 минут 36 секунд:

Falex писал(а):

Дык откуда здесь получается такая большая производная да еще и с параметрами $p,q,p_1,q_1$?

Алексей К. писал(а):

Сделано на скорую руку, не проверено, ошибки опечатки возможны

Формулу для косинуса я там неправильно написал (а считал вроде правильно) --- уже поправил.
Уберите также $p_1, q_1$, выразите их через $t_1$.

[Falex]

Ok.Тогда такой вопрос.А если

$$ u_1 = p_1 - p\cos t - \varepsilon, \quad v_1 = q_1 - q\sin t + \varepsilon, \quad u_2 = -p_1 - p\cos t + \varepsilon, \quad v_2 = q_1 - q\sin t + \varepsilon. $$

т.е. точки $A_1$, $A_2$ уже не угловые, а лежат внутри сегмента, на достатоно маленькои расстоянии от
угловых точек.
Тогда тоже $t_{\max} = \pi/2$?

[Алексей К.]

Опять мы путаемся: какие-то точки $A_1$, $A_2$ появились...
$C=(-p_1,q_1)$ сместили слегка в положение $C_1=(-p_1+\xi_1,q_1+\eta_1)$?
$D=(\hphantom{-}p_1,q_1)$ слегка сместили в положение $D_1=(p_1+\xi_2,q_1+\eta_2)$?
Симметрию оставили? В какой степени? $\eta_1=\eta_2$?
Что, действительно один епсилон на всех???

Ну надо поправки записывать не к каким-то там u и v, а чётко ввести новые координаты этих точек. И дальше вычислять, как и ранее.

Ожидается дополнительная гомоздкость.
Ну и $t_{\max} = \pi/2+O(\epsilon,\varepsilon,\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2,\ldots)$
Почему? Да из общих соображений: чем ближе эти поправки к нулю, те ближе новый результат к старому.

Общее впечатление: у Вас по жизни случилась некая задача $Z_1$. Вы её переформулировали в $Z_2$, и эту странную штуку обсуждаете. А может, плохо сделан именно переход $Z_1 \to Z_2$?

[Falex]

Именно один епсилон на всех!