Другой вариант замены

[GlazkovD]

В неопределенных интегралах существует следующая(всеми признанная) формула:

$$\int_{}^{} f(x) dx$$

=

$$\int_{}^{} f(g(t))*g'(t) dt$$

(1)
где производится замена x=g(t)

Вопрос у меня следующий:
У меня есть выражение

$$\int_{}^{} f(g(x)) dx$$

которое нужно проинтегрировать.
Предположим что данную функцию,путем арифметических преобразований, я могу привести
к виду:

$$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$

Могу ли я вот таким вот образом делать временную замену для интегрирования

$$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$

=

$$\int_{}^{} f(t) dt$$

(Формула (1) прочитанная справа на лево)
где t=g(x) dt=g'(x)dx


а потом взяв интеграл относительно t, заменить tна g(x) после интегрирования

[Brukvalub]

Да, можете, и это тоже будет всеми признанный приём , известный в кругах любителей математического анализа как "интегрирование занесением под знак дифференциала".

[bot]

Неаккуратность только имеется:

Цитата:

Вопрос у меня следующий:
У меня есть выражение

$$\int_{}^{} f(g(x)) dx$$

которое нужно проинтегрировать.
Предположим что данную функцию,путем арифметических преобразований, я могу привести
к виду:

$$\int_{}^{} f(g(x))*g'(x) dx$$

Данное выражение преобразуется к указанному виду только лишь в случае $g'(x)=1$
Лучше было сказать так: требуется проинтегрировать функцию $F(x)$. Преобразованием получаем $F(x)=f(g(x))g'(x)$ ...

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

Пример:
$\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{x^2}d(x^2)=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$

[GlazkovD]

Bot. Может быть я чего то не понял в вашем ответе, но на мой взгляд выражение справедливо не только для g'(x)=1
На мой взгляд зависит от конкретного примера.

$$\int_{}^{} cos(3x) dx$$

Ничего не станет если домножить и поделить на 3 подынтегральное выражение.

$$\int_{}^{} (3/3)*cos(3x) dx$$

Тогда в числителе наблюдается. g(x)=3x g'(x)=3 и конечно dx

Заменяем 3x=t 3dx=dt выносим 1/3 за интеграл и получаем
выражение 1/3

$$\int_{}^{} cos(t)dt$$

PS: Всем большое спасибо за ответы и внимание.
Просто, к сожалению, учась на заочном, иногда могут возникать вопросы.

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

Просто к сожалению учась на заочном иногда, все таки, могут возникать вопросы.

Молодец, что стараетесь разобраться! Сейчас это такая редкость...Будут вопросы-пишите, всегда рад помочь.

[bot]

GlazkovD писал(а):

Bot. Может быть я чего то не понял в вашем ответе, но на мой взгляд выражение справедливо не только для g'(x)=1

Если имеем тождество $f(g(x))=f(g(x))g'(x)$, то какой должна быть функция $g'(x)$?

В Вашем примере $g'(x)=\frac{3}{3}=1$:
$\int \cos 3x dx=\int cos3x \cdot \frac{3}{3} dx = $ $\frac{1}{3} \int cos3x \cdot 3 dx= \frac{1}{3} \int cos3x d 3x=$ $\frac{1}{3} \int cos t d t = sin t +C=sin 3x +C$

Более коротко это пишется (и называется как сказал Brukvalub) методом подведения под знак дифференциала:

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\int \cos 3x \cdot 3 dx = $ [отщипываем множитель 3, чтобы занести его под дифференциал]

$=\frac{1}{3}\int \cos 3x d(3x) =... $ [так как $3dx=d(3x)$, подводим 3 под дифференциал]

$=\frac{1}{3}\sin 3x +C$ [так как $\int \cos t dt =\sin t +C$]

Замену $3x=t$, а потом обратно $t=3x$ здесь делать нет никакой необходимости.

[GlazkovD]

bot
Теперь полностью согласен с вами.
Большое спасибо