интегральчик

[arqady]

Докажите, что $\int\limits_0^{\infty}\prod\limits_{k=1}^n\frac{\sin\frac{x}{2^{k-1}}}{\frac{x}{2^{k-1}}}dx=\frac{\pi}{2}$ для любого натурального $n$.

[Mitrius_Math]

Произведение синусов можно "свернуть", умножив обе части равенства $P_n=\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{\sin \frac{x}{2^{k-1}}}{\frac{x}{2^{k-1}}}$ на $\cos \frac{x}{2^{n-1}}$.

[arqady]

Ваша свёртка остановится после первого же шага
И если бы свернулось, что тогда делать при $n=2$?

[Mitrius_Math]

arqady в сообщении #621357 писал(а):

Ваша свёртка остановится после первого же шага

Да, точно. Не пойдёт...

[sup]

Наверное надо не так "сворачивать" . Может стоит применить "обычную свертку" Фурье-образов .

[arqady]

Угу! И если двойку в интеграле заменить на $1.999$, например, то $\frac{\pi}{2}$ получится далеко не всегда.

[chessar]

Я так понимаю, представление $P_n$ в виде:

\[ P_n=\begin{cases} \frac{a}{x^n}\sum\limits_{k=1}^{2^{n-1}}(-1)^{k-1}\sin\frac{(2k-1)x}{2^{n-1}},&n\text{~---~нечётное},\\ \frac{b}{x^n}\sum\limits_{k=1}^{2^{n-1}}(-1)^k\cos\frac{(2k-1)x}{2^{n-1}},&n\text{~---~чётное} \end{cases} \]

особо ничем не поможет?

[Утундрий]

arqady
Вот, кстати, из той же оперы post621642.html#p621642

[arqady]

Утундрий, удивительно, как это люди в оно и тоже время думают об одних и тех же вещах, находясь при этом в совершенно разных местах. Впрочем, ничего удивительного...

[Sonic86]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #622243 писал(а):

Утундрий, удивительно, как это люди в оно и тоже время думают об одних и тех же вещах, находясь при этом в совершенно разных местах. Впрочем, ничего удивительного...

Блин, RIP с самого начала запостил картинку именно сюда, а потом почему-то стёр, а я ее просто поймал - жалко, хороший пример, да и смешно

[nnosipov]

Sonic86, а кто автор того текста на картинке? Хороший текст. Хотя это вопрос скорее к RIP.

[RIP]

(Оффтоп)

Картинку я удалил потому, что здесь это был оффтоп. Я так частенько поступаю: напишу чего-нибудь под влиянием эмоций, а потом подумаю — и удаляю свои художества, пока есть возможность. Автора текста не знаю. Картинку я случайно где-то встретил недавно, а потом бац — и буквально на следующий день появляется эта тема, так что некое совпадение таки имеет место быть. Сначала подумал, что картинка здесь будет очень в кассу (последний абзац решает, ага), но потом передумал.