Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи

[gris]

Перпендикулярность диагоналей монотеистична равенству сумм квадратов противоположных сторон. Наверное, здесь копать надо.

[scwec]

Nilenbert в сообщении #622149 писал(а):

Цитата:
Не существует четырехугольника, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, а диагонали перпендикулярны.

venco в сообщении #621979 писал(а):

Да и вообще, если можно построить какой-нибудь четырёхугольник с некоторым набором длин сторон (просто неравенства треугольника), то можно построить вписанный четырёхугольник с тем же набором длин сторон (и в том же порядке).

.

Таким образом, если поверить venco и Nilenbert, то доказав, что четырехугольник с перпендикулярными диагоналями и длинами сторон - последовательными числами Фибоначчи не может быть вписанным, мы тем самым доказываем, что таких четырехугольников вообще не существует.
Остается это сделать.

[arqady]

Условие вписанности лишнее, конечно. Чтобы Вашего четырёхугольника не существовало, достаточно перпендикулярности его диагоналей.

[gris]

Квадраты чисел Фибоначчи растут слишком сильно.

[scwec]

arqady, согласен. Но хотя бы простенькое доказательство не помешает.(На секунды разошлись с gris уже второй раз).

[arqady]

gris в сообщении #622244 писал(а):

Квадраты чисел Фибоначчи растут слишком сильно.

Поэтому квадрат самого маленького надо складывать с квадратом самого большого и здесь получается что-то красивое.

[gris]

Квадрат любого ЧФ больше суммы квадратов любых трёх разных предшествующих. Поэтому никак. Впрочем, последнее утверждение я только на глаз определил, но доказать можно, наверное.

[arqady]

Согласен, так проще. Я имел в виду, что если $a\leq b\leq c\leq d$, то $a^2+d^2=2(b^2+c^2)>b^2+c^2$.

[gris]

Кстати, доказательство равносильности перпендикулярности диагоналей равенству сумм квадратов противоположных сторон тоже доказывается с помощью теоремы косинусов. И при этом ещё и средние линии равны.
Может быть и это можно использовать?

[scwec]

Предложу ещё своё (до кучи). Воспользуемся тождеством для таких (с перпендикулярными диагоналями) вписанных четырехугольников: $a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2$ ($a,b,c,d$ -стороны, $R$ - радиус описанной окружности). Имеем: $F^2_{n+1}+F^2_{n+2}+F^2_{n+3}+F^2_{n+4}=F^2_{n+1}+2F^2_{n+4}-2F_{n+2}{F_{n+3}}<2F^2_{n+4}$. Отсюда $2R<F_{n+4}$ и сторона с длиной $F_{n+4}$ в окружность не влезает. Значит таких вписанных четырехугольников нет.

Однако, легко видеть, что без дополнительных требований, вписанные четырехугольники, у которых длины сторон есть последовательные числа Фибоначчи, существуют для каждой четверки таких чисел.

Исправил это сообщение, убрав хвост после слова "нет", состоящий из слов "и, следовательно, по venco, нет никаких".
Из сообщения venco это действительно не следует.

[venco]

Я своё сообщение написал, когда ещё не было требования перпендикулярности диагоналей.