Обобщение теоремы 3.3. Репликация
В
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/grid.pdf (теорема 3.3 хм автор доработал статью раньше это была лемма 4.3) дается такой способ преобразования цветов при репликации: χi (a, b) = χ(a, b) + i (mod c).
Это преобразование можно записать в виде матрицы СхС (пример для С=5):
12345
23451
34512
45123
51234
Где первая колонка цвета исходного сильноокрашенного прямоугольника. Следующие колонки матрицы задают преобразование цвета исходного прямоугольника на i шаге репликации. Получился латинский квадрат, полученный циклическим сдвигом первой колонки.
Преобразование можно записать и в виде двух перестановок:
12345
23451
Вторая перестановка задает преобразование цвета на текущем шаге репликации из цветов ячеек прямоугольника полученного на предыдущем шаге репликации.
Алексей Чернов отмечал, что преобразование, описанное в статье не единственный способ преобразования цветов. В качестве второй перестановки преобразования можно выбирать и другие перестановки.
Что то подобное есть и у Сергея Беляева.
Цитата:
ТеоремаПусть
- латинский квадрат,
- поле из
элементов с операциями
и
, тогда
1. раскраска
правильная;
2. раскраска
правильная.
Собственно
и есть способ преобразования цветов при репликации.
Обобщение теоремы 3.3. Любой ЛК задает корректное преобразование цветов при репликации сильноокрашенного прямоугольника.
-- Сб сен 22, 2012 15:22:08 --В свете последних идей изучаю тему классы изоморфизмов латинских квадратов. Или как пишется в литературе изотопные классы.
http://cs.anu.edu.au/~bdm/data/latin.htmlВводится поянтие "main class"
Цитата:
To be in the same main class, one is in addition permitted to permute the three roles "row", "column" and "symbol" (for example, symbol s in row r and column c might become symbol r in row c and column s)
Как я поянл, задается преобразование: каждой ячейке ЛК сопостовляется тройка чисел (s,r,c), s-цвет ячейки, r-номер строки ячейки, c-номер колонки ячейки. Тогда преобразования
(s,r,c)->(s,c,r) (зеркальное отражение относительно диагонали)
(s,r,c)->(r,s,c)
(s,r,c)->(r,c,s)
(s,r,c)->(c,s,r)
(s,r,c)->(c,r,s)
Преобразовывают ЛК в ЛК.
Тщательно изучил списки литературы. Но увы первоисточников не нашел. Появились вопросы.
1) Доказать, что эти преобразования преобразуют ЛК в ЛК.
2) Доказать, что эти преобразования нельзя получить перестановкой строк, колонок и символов.
Количество "main class" ЛК описано в
http://oeis.org/A003090Долго пытался вникнуть в этот текст:
Цитата:
"We start by showing a one to one correspondence between arrangements of d lines in P^2 and lines in P^{d-2}. Then we apply this to classify (3,q)-nets on P^2 for all 2 <= q <= 6. For the new case q=6, we have a priori twelve possible cases, but we obtain that only six of them are realizable on P^2 over C. We give equations for the lines defining these nets. We also construct a three dimensional family of (3,8)-nets corresponding to the multiplication table of the Quaternion group. After that, we define more general arrangements of curves and relate them, via moduli spaces of pointed stable curves of genus zero, to curves in P^{d-2}. Then, we prove that there is a one to one correspondence between these more general arrangements of d curves and certain curves in P^{d-2}. As a corollary, we recover the one to one correspondence for line arrangements. This more general setting not only generalizes line arrangements but also shows the ideas behind what we did in that case." - Jonathan Vos Post, Apr 05 2007
Увы пока ничего не понял.
