Геометрия. доказательство.

[integral2009]

т. $D$ лежит внутри $\Delta {ABC}$. При этом $CD$ пересекает $AB$ в т. $E$. Докажите, что $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{S_{ADC}}{S_{CDB}}$



Была идея расписать площади через синус, но пока не могу увязать эти площади с $AE$ и $EB$.

Над чем следует подумать?

[_Ivana]

Сначала покажите что это отношение равно $S_{AEC}/S_{CEB}$, а потом и вашему отношению.

[integral2009]

Кажется, получилось!!! Пусть $\alpha=\angle(ACE)\;\;\;\;\;\;\;\;\beta=\angle(ECB)$

$\dfrac{S_{ADC}}{S_{CDB}}=\dfrac{AC\cdot CD\cdot \sin\alpha}{CD\cdot CB\cdot sin\beta}=\dfrac{AC\cdot \sin\alpha}{CB\cdot sin\beta}$

По теореме синусов

$\dfrac{\sin\alpha}{AE}=\dfrac{\sin\angle(AEC)}{AE}$

$\dfrac{\sin\beta}{EB}=\dfrac{\sin\angle(AEC)}{CB}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\sin\angle(AEC)=\sin\angle(CEB)$

Поделив одно уравнение на другое - получаем то, что нужно. Верно?

Можно ли было использовать теорему синусов при таком доказательстве?