Точки разрыва

[xmaister]

Пусть $X, Y$- метрические пространтсва, $A\subset X$- всюду плотно и $f:X\to Y$- функция, такая чть $f|_A: A\to Y$- непрерывна. Верно ли что множество точек разрыва $f$ является множеством первой категории?

[Dan B-Yallay]

Функция Дирихле в качестве контрпримера не подойдет?

[xmaister]

Нет, она всюду разрывна. Если добавит, что всюду плотное множество $A$- счетно, то можно ли будет доказать исходное утверждение?

[Dan B-Yallay]

xmaister в сообщении #622015 писал(а):

Нет, она всюду разрывна. Если добавит, что всюду плотное множество $A$- счетно, то можно ли будет доказать исходное утверждение?

Она непрерывна на множестве рациональных точек.

[xmaister]

Докажите.

[Oleg Zubelevich]

[Dan B-Yallay]

Доказать?
Рассмотрим последовательность рациональных точек, сходящихся к другой рациональной точке. Так как функция во всех рац. точках равна 1, то ...

[gris]

Мне кажется, перепутаны непрерывность в каждой точке множества $A$ и непрерывность по множеству/на множестве $A$
Можно построить функцию, непрерывную в иррациональнах и разрывную в рациональных точках (функция Римана), но не наоборот. И там именно про категории говорится.

[xmaister]

Что перепутано? Пусть $A$- счетное всюду плотное и огрничение $f$ на $A$- непрерывно. Верно ли что множество точек разрыва $f$- множество первой категории?

[Dan B-Yallay]

xmaister
у вас есть вопросы по контрпримеру и "доказательству"?

[xmaister]

Нет, доказательство просто не верно. Схолимости одной последовательности не достаточно для непрерывности

[CptPwnage]

Вероятно имелось ввиду что ограничение функции Дирихле на рациональные числа непрерывно
И это очевидно верно, т.к на них функция константа.

[Someone]

О какой непрерывности идёт речь? Если как в первом сообщении (непрерывность ограничения на множество $A$), то функция Дирихле даёт контрпример. Если же речь идёт о том, что функция $f$ непрерывна во всех точках множества $A$ (как функция, определённая на $X$, а не на $A$, то задача становится более интересной.

Полезно рассмотреть функцию $\omega_f(x)=\inf\{\operatorname{diam}f(U):U\subseteq X\text{ - окрестность точки }x\}$.

[xmaister]

Да, я не корректно написал то, что хотел доказывать. Имелось в виду непрерывность во всех точках множества $A$.

Someone в сообщении #622093 писал(а):

Полезно рассмотреть функцию $\omega_f(x)=\inf\{\operatorname{diam}f(U):U\subseteq X\text{ - окрестность точки }x\}$.

Получается, что $\omega_f(x)=0$ тогда и только тогда, когда функция непрерывна в точке $x$. Верное ли, что $\omega_f(x)$- непрерывна?

[Someone]

Ну с чего бы ей быть непрерывной. Конечно, если $f$ непрерывна, то всюду $\omega_f(x)=0$, но в других-то случаях маловероятно.

Зато с помощью этой функции легко доказать, что если множество точек непрерывности $f$ всюду плотно в $X$, то множество точек разрыва $f$ есть объединение счётного множества нигде не плотных множеств.