Градиент поля в точке не перпендикулярен перемещению точки

[dimanet]

Здравствуйте!
Помогите разобраться с доказательством того, что градиент единственен. Занимаюсь сейчас по книжке "Элементы векторного исчисления" Лаптева.
Дано такое определение: Вектор, зависящий только от координат текущей точки, называется градиентом поля, если скаларное произведение его на дифференциал радиуса-вектора текущей точки есть полный дифференциал скаляра поля.
Так вот. Если имеется два таких вектора, то $ \[dF = {\bar g_1} \cdot d\bar r\]$ и $ \[dF = {\bar g_2} \cdot d\bar r\]$.
Вычитая одно из другого получаем $\[\left( {{{\bar g}_1} - {{\bar g}_2}} \right) \cdot d\bar r = 0\]$. Ясно, что перемещение не равно нулю, но здесь указано, что если бы вектор $\[\left( {{{\bar g}_1} - {{\bar g}_2}} \right)\]$ не равнялся нулю, то он был бы перпендикулярен произвольному вектору dr, а этого быть не может.
Почему последнего (перпендикулярности) быть не может? Пока набирал, вроде понял -- здесь ключевое слово "произвольному"? То есть, получается, что градиент был перпендикулярен всякому произвольному вектору dr?
Заранее благодарю и прошу простить за сумбур и, может быть, глупый вопрос.

[мат-ламер]

Вы сами ответили на свой вопрос.

[dimanet]

Спасибо большое. Вот так часто бывает.