Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи

[scwec]

Докажите, что четырехугольник, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, не может быть вписан в окружность.

[ewert]

А разве может быть вообще соотношение сторон (при условии, конечно, что четырёхугольник из таких сторон вообще можно построить), для которого вписанность в окружность была бы невозможна?...

[Утундрий]

ewert
Окружность определяется тремя точками.

[gris]

Мне кажется, что решение связано с теоремой косинусов. У вписанного четырёхугольника косинусы противоположных углов равны по модулю и отличаются по знаку. Для конкретной четвёрки сторон из теоремы косинусов для каждой диагонали мы можем получить все углы и диагонали. Но одна диагональ уже полностью определяет четырёхугольник. Вероятно, это будет в противоречии со второй диагональю или углом.
Хотя куда ему деваться?
Я вот построил четырехугольник со сторонами 1, 1, 2, 3. Угол при сторонах 1 и 2 равен $120^{\circ}$, при сторонах 1 и 3 равен $60^{\circ}$. Вроде бы всё корректно.

Вот описанным он точно не может быть.

[mihailm]

ewert в сообщении #621886 писал(а):

А разве может быть вообще соотношение сторон (при условии, конечно, что четырёхугольник из таких сторон вообще можно построить), для которого вписанность в окружность была бы невозможна?...

Возьмем равносторонний треугольник (большой) и срежем один уголок немного
Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь

[nnosipov]

mihailm в сообщении #621907 писал(а):

Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь

Нужно наоборот четырёхугольник вписывать в окружность.

А разве четырёхугольник со сторонами 1, 1, 2, 3 не будет контрпримером к утверждению задачи?

-- Пт сен 21, 2012 22:56:45 --

gris в сообщении #621903 писал(а):

Вот описанным он точно не может быть.

Это должно быть очевидно.

[mihailm]

nnosipov в сообщении #621915 писал(а):

mihailm в сообщении #621907 писал(а):

Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь

Нужно наоборот четырёхугольник вписывать в окружность.
...

Точно, был невнимателен

[gris]

А нельзя последовательность Фибоначчи трактовать расширительно?
А то бы 2, 1, 3, 4 можно и описать.

[scwec]

Последовательность соблюдать вовсе не обязательно. Справедливо даже следующее. Четырехугольник не вписывается в окружность, если длины сторон просто все разные числа Фибоначчи. ($1,1,2,3$ тоже не вписывается).

[gris]

Значит, мы чего-то не понимаем. Я опять к 1, 1, 2, 3. Пусть диагональ, образующая треугольник со сторонами 1 и 2, а так же 3 и 1 равна $d$, а угол, образованный 1 и 2 равен $a$. По теореме косинусов (она не только в ВТФ применяется

$d^2=1+4+4\cos a=1+9-6\cos 6$, откуда $\cos a=0.5$, а $d=\sqrt 7$

Строим треугольник $1, 2, \sqrt 7$, пристраиваем к стороне $\sqrt 7$ стороны $3$ и $1$. По теореме косинусов угол между ними равен $60^{\circ}$
Суммы противоположных углов равны обе пи. Можно описать окружность.
Такую же процедуру можно применить к другому четырёхугольнику (надеюсь) и по заданным сторонам определить углы.

+++ поправил. тройка в квадрате.

$d^2=1^2+2^2-2\cdot 1 \cdot 2\cdot \cos b=1^2+3^2-2\cdot 1 \cdot 3\cdot \cos a$

$\cos b=-\cos a$

$d^2=5+4 \cos a=10-6 \cos a$

Я не утверждаю, что прав, а думаю, что не так понял условие. Хотя, конечно, не думаю

[scwec]

gris, это я не понимаю что Вы написали. Посмотрите на строчку с $d^2$. Что там за тройка после второго равенства. Ну и вообще.
Прочтите свой текст внимательно.

[nnosipov]

scwec, что-то у Вас не так в условии.

[scwec]

Да, действительно, забыл добавить в условие про перпендикулярность диагоналей. Извиняюсь, конечно.

[venco]

scwec в сообщении #621938 писал(а):

Последовательность соблюдать вовсе не обязательно. Справедливо даже следующее. Четырехугольник не вписывается в окружность, если длины сторон просто все разные числа Фибоначчи. ($1,1,2,3$ тоже не вписывается).

Вписывается.
Да и вообще, если можно построить какой-нибудь четырёхугольник с некоторым набором длин сторон (просто неравенства треугольника), то можно построить вписанный четырёхугольник с тем же набором длин сторон (и в том же порядке).

[Nilenbert]

scwec в сообщении #621974 писал(а):

Да, действительно, забыл добавить в условие про перпендикулярность диагоналей. Извиняюсь, конечно.

Судя по этому, вы имеете в виду следующую задачу:

Цитата:

Докажите, что четырехугольник, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, а диагонали перпендикулярны, не может быть вписан в окружность.

Но это излишнее усложнение задачи, так как можно доказать более сильное утверждение:

Цитата:

Не существует четырехугольника, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, а диагонали перпендикулярны.