Задачи из Математического Просвещения №10 (2006)

[maxal]

Задачи из номера 10 "Математического Просвещения". Со дня на день выйдет номер 11 с решениями, нужно успеть решить самим

1. (А.К.Ковальджи) В вершинах куба написаны числа. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трех соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После $10$ таких операций в вершинах оказались исходные числа. Найдите все такие числа.

2. (А.Я.Белов) Кривая ${\cal C}$ задана в ${\mathbb R}^4$ параметрически уравнениями $x_i= P_i(\tau)$, $i=1,2,3,4$, где многочлены $P_i(\tau)$ имеют степень $3$. Докажите, что $\cal C$ живет в трехмерной плоскости (т.е. найдется 3-мерное аффинное подпространство, которое ее содержит).

3. (Э.Б.Винберг) Рассмотрим циклические слова с отмеченным началом из 0 и 1 с четным числом нулей. Припишем единицам слова знаки $+$ и $-$ так, чтобы знаки соседних единиц совпадали или отличались в зависимости от четности числа нулей между ними (например, идущие подряд единицы берутся с одинаковым знаком). Сигнатурой слова назовем абсолютную величину алгебраической суммы единиц. Докажите, что число слов длины $n$ и сигнатуры $n-2k$ равно числу сочетаний из $n$ по $k$ при $n-2k>0$ и вдвое меньше при $n-2k=0$.

4. (А.Я.Канель) На плоскости проведены $n$ систем равноотстоящих прямых; $i$-я система состоит из всех прямых вида $a_ix+b_iy=c_i+k$, $k\in\ZZ$. При этом никакие три прямых не пересекаются в одной точке, и никакие две системы не параллельны. Эти системы разбивают плоскость на многоугольники. Пусть $S$ ~ средняя площадь многоугольника, $S_{ij}$ ~ площадь параллелограмма решетки, порожденной $i$-й и $j$-й системами. Докажите, что

$$S^{-1}=\sum_{i<j}S_{ij}^{-1}$$

(Средняя площадь многоугольника - это величина $S=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}S_t/N_t$, где $S_t$ - общая площадь всех многоугольников разбиения, целиком содержащихся в круге радиуса $t$ с центром в начале координат, $N_t$ ~ количество этих многоугольников.)

5. (И.Богданов) На берегу круглого острова Гдетотам расположено $n$ деревень, в каждой живут борцы. Был проведен турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы $(1-\alpha)$-я часть поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.) Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Докажите, что
$\alpha\leq\alpha_0=\frac1{4\cos^2\cfrac{\pi}{n+2}}$,
причем число $\alpha_0$ нельзя заменить на меньшее.

6. (А.Заславский) Внутри выпуклого четырехугольника взята точка, равноудаленная от противоположных сторон. Оказалось, что она лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей. Докажите, что четырехугольник является либо вписанным, либо описанным, либо трапецией.

7. (В.А.Уфнаровский, А.Я.Белов) От прямоугольника отрезают квадрат, а с оставшимся прямоугольником производят ту же процедуру. Может ли последовательность отношений сторон у этих прямоугольников быть периодической, если одна из сторон исходного прямоугольника равна 1, а другая равна а) $\sqrt{2}$, б) $\sqrt[3]{2}$, в) $\sqrt{2005}$.

8. (S.Kochen, M.Specker) Можно ли покрасить сферу белой и красной красками так, чтобы любые три исходящих из центра сферы взаимно перпендикулярных луча пересекали ее в одной красной и двух белых точках?

9. (Заочный конкурс памяти Кирилла Дочева) $G$ ~ группа порядка $2^n(2k+1)$, содержащая элемент порядка $2^n$.
Докажите, что множество элементов нечетного порядка является подгруппой.

10. (А.М.Яглом, И.М.Яглом) Среди $k$ монет есть одна фальшивая, причем неизвестно, легче она или тяжелее. За какое минимальное число взвешиваний можно определить фальшивую монету на чашечных весах без гирь, если при этом
а) требуется узнать, легче она или тяжелее;
б) не требуется узнать это.

11. (А.Я.Канель) Последовательность непрерывных функций ($F_n$), где $n$-я функция зависит от $n$ переменных, называется средней, если она удовлетворяет следующим свойствам:

1) Для любого натурального $n$ функция $F_n$ симметрична, однородна (т.е. при перестановке переменных значение $F_n$ не меняется и

$$F_n(\lambda\cdot x_1,\dots,\lambda\cdot x_n)=\lambda\cdot F_n(x_1,\dots,x_n)$$

для любых чисел $\lambda,x_1,\dots,x_n$), кроме того $F_n(x,\dots,x) = x$ для любого $x$,
$F_2(1,0) = 1/2$.

2) Для любых натуральных $n$ и $k$ равенство

$$F_{n+k}(x_1,\dots,x_n,x_{n+1},\dots,x_{n+k})=F_{n+k}(x_1,\dots,x_n,Y,\dots,Y)$$

где $Y = F_k(x_{n+1},\dots,x_{n+k})$, выполнено для любых чисел $x_1,\dots,x_{n+k}$.

Докажите, что функция $F_n$ есть среднее арифметическое:

$$F_n(x_1,\dots,x_n)=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}.$$

12. (Фольклор) Квадрат разбит на треугольники равной площади. Докажите, что их число четно.

[Руст]

Начну с первых двух. Сопоставим вершинам кубов (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) номера и преобразованию неотрицательную (вероятностную) матрицу $P=(p_{ij}),i,j\le 8, p_{ij}=0 \ or \ \frac 13 $. Если вершины i,j соседние, т.е. получено изменением одной координаты элемент p(i,j)=1/3, иначе 0. Ясно, что отношение соседство симметричное, что приводит к p(i,j)=p(j,i). Поэтому, все характеристические корни действительные. Исходное условие эквивалентно тому, что начальное данное является собственным вектором с собственным значением 1 для десятой степени матрицы P. Легко установить, что имеется единственное собственное значение 1 с собственным вектором, состоящим из 1 и имеется единственное собственное значение -1 с собственным значением $x_i=(-1)^{k_i}, k_i -$ количество единиц в трёхмерной записи.
Соответственно начальное значение является линейной комбинацией двух таких собственных векторов. Например aX(1)+bX(-1) с a=2, b=1 принимает следующие значения:
(0,0,0) - 3,
(1,0,0) - 1,
(0,1,0) - 1
(0,0,1) - 1,
(1,1,0) - 3,
(1,0,1) - 3
(0,1,1) - 3,
(1,1,1) -3.
Вторая задача очевидная (наподобии решения линейного уравнения методом Гаусса).

[neo66]

maxal писал(а):

7. (В.А.Уфнаровский, А.Я.Белов) От прямоугольника отрезают квадрат, а с оставшимся прямоугольником производят ту же процедуру. Может ли последовательность отношений сторон у этих прямоугольников быть периодической, если одна из сторон исходного прямоугольника равна 1, а другая равна $\alpha$ а) $\sqrt{2}$, б) $\sqrt[3]{2}$, в) $\sqrt{2005}$.

Процедура, описанная в залаче, эквивалентна разложению $\alpha$ в цепную дробь. Поэтому в первом и третьем случае последовательность периодическая, а во втором нет, поскольку $\sqrt[3]{2}$ не является квадратической иррациональностью.

[juna]

maxal писал(а):

8. (S.Kochen, M.Specker) Можно ли покрасить сферу белой и красной красками так, чтобы любые три исходящих из центра сферы взаимно перпендикулярных луча пересекали ее в одной красной и двух белых точках?

Пофантазируем. Если взять три взаимно перпендикулярных вектора, продолжить каждый в противоположном направлении, то, ясно, что из полученых шести векторов, вершины ровно двух нужно окрасить в красный цвет (любые две диаметрально противоположные), остальные в белый. Теперь вопрос сводится к тому, сможем ли мы залить всю поверхность сферы, вращая этот ежик, без взаимных перекрытий. Предлагаю такой: проводим на сфере окружность, у которой радиус в сечении $\frac{R}{\sqrt{2}}$, где $R$ - радиус сферы, и диаметрально противоположно аналогичную окружность. Закрашиваем эти окружности со внутренностью красным, остальное белым. Нужно принимать соглашения на границе.

maxal писал(а):

12. (Фольклор) Квадрат разбит на треугольники равной площади. Докажите, что их число четно.

Вроде разбирали или есть решение короче?

Добавлено
Мое решение п.8 неверно.

[maxal]

Пользуясь случаем, хочу представить составителя задачного раздела "Математического Просвещения" - Алексея Яковлевича Канеля-Белова. На форуме его ник Kanel-Belov. Прошу любить и жаловать, а также задавать вопросы (если таковые имеются) по поводу тех или иных задач в МП. Надеюсь, теперь он будет активным участником нашего форума

[juna]

Мне было бы интересно увидеть доказательство п.12, если оно не использует p-адический анализ.
Было бы также интересно посмотреть на невозвожность п.8.

[Kanel-Belov]

resenie est v knige Manina Dokazuemoe i nedorkazuemoe. Vesma neprostoe.

Interesno, chto dlia racionalnuh tochek sferu raskraska sushestvuet,

[worm2]

Мне очень понравилась 9-я задача, хотя я в теории групп полный чайник.
Интересно, её доказательство элементарно, в смысле доступно людям вроде меня?

[Kanel-Belov]

У этой задачи есть красивое элементарное (использующее только четность перестановки) решение.

[juna]

Попытаюсь рассмотреть эту задачу.
Пусть $q_1$ - элемент порядка $2^n$, рассмотрим элементы $q_1,q_1^2,q_1^3...e$, где $e=q_1^{2^n}$. Ясно, что они образуют циклическую группу порядка $2^n$, в этой группе все элементы четного порядка, кроме $e$, точнее порядок элемента $q_1^i$ равен $\frac{2^n}{2^{ord_2(i)}}$. Поскольку эта группа циклическая, то она является нормальным делителем. Рассмотрим фактор-группу по этому нормальному делителю - ее порядок $2k+1$ - нечетное число. Известно, что группа гомоморфно отображается на фактор-группу по нормальному делителю, причем сам нормальный делитель отображается в ядро гомоморфизма (единичный элемент фактор-группы). Известно, что порядок элемента делит порядок группы. У фактор-группы порядок нечетный, значит все ее элементы нечетного порядка. Но между группой и фактор-группой гомоморфизм.
P.S. Я не уверен в полноте этого доказательства.

Kanel-Belov писал(а):

Interesno, chto dlia racionalnuh tochek sferu raskraska sushestvuet,

Интересно, но мне кажется, доказать это сложно.

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Поскольку эта группа циклическая, то она является нормальным делителем.

А это с какой радости?

[juna]

Она будет коммутативной

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Она будет коммутативной

Ну и что? В группе $S_3$ подгруппа $\langle(12)\rangle\simeq\mathbb{Z}_2$ не нормальна.

[maxal]

RIP писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Поскольку эта группа циклическая, то она является нормальным делителем.

А это с какой радости?

Это будет так, если силовская 2-подгруппа одна. В этом случае она обязана быть нормальным делителем. В общем же случае количество силовских 2-подгрупп будет делителем $2k+1$.

[juna]

Согласен, перепутал в ночи с утверждением - если группа коммутативна, то любая ее подгруппа является нормальным делителем.