Ряды Фурье

[elizabet]

Непонятен отрывок из учебника (Качмаж):
"Если мы рассмотрим ортонормированную систему, полную относительно $C$ (пространство непрерывных функций), но не полную относительно $L_2$ и выберем определенные коэффициенты, то может существовать только одна непрерывная функция, имеющая заданное разложение. Не исключена, тем не менее, возможность, что существует и другая (разрывная) функция из $L_2$, которая имеет то же разложение. Этим объясняется парадоксальное явление, когда оказывается возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет своей суммой другую (разрывную) функцию."

Непонятно вот что:
При выборе определенных коэффициентов мы определяем функции из $L_2$, ряды Фурье которых имеют эти коэффициенты (это следует из теоремы Рисса-Фишера). Но этим коэффициентам соответствует ровно одна функция $F$ из $C$, поскольку ортонормированная система, по которой мы раскладываем в ряд, полна относительно $C$. При этом, поскольку ортонормированная система полна, ряд Фурье функции $F$ сильно сходится к $F$. В $L_2$ нет функций, отличных от $F$, ряд Фурье которых состоит из этих коэффициентов и сходится сильно к $F$ (это следует из теоремы Рисса - Фишера).
Вернемся к отрывку из учебника, а именно к фразе: "оказывается возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет своей суммой другую (разрывную) функцию". Допустим, существует непрерывная функция $F$, ряд Фурье которой сходится к другой, разрывной, функции. Получается, что этот ряд Фурье сходится сильно к непрерывной функции, и, в тоже время, сходится к другой, разрывной, функции. Но известно, что если последовательность функций сходится и всюду, и в среднем, то оба эти предела совпадают почти всюду.

Как понимать этот отрывок из книги? В моем рассуждении есть ошибки?

[elizabet]

Помогите разобраться, пожалуйста... никак сама не могу....
Может быть, мне нужно подробнее пояснить мой вопрос?

[sup]

Следует отличать полноту и замкнутость системы $\varphi_n$. В первом случае нет функции ортогональной всем $\varphi_n$. Во втором случае, любую функцию можно сколь угодно точно приблизить конечной комбинацией $\varphi_n$.
Вот Вам простой двумерный пример. В пространстве $R^2 = \{(x,y)\}$ рассмотрим подпространство $L$ векторов вида $(x,x)$. И $\varphi_1 = (1,0)$. Ну так вот $L$ полно относительно $\varphi_1$. Но разложение элемента $(x,x)$ по системе $\varphi_1$ это просто $(x,0)$

[elizabet]

Sup, Спасибо Вам большое за ответ!!

Правильно ли я Вас поняла, что все дело в приадлежности или не принадлежности ортонормированной полной системы самому гильбертову пространству (если полная ортонормированная система принадлежит гильбертову пространству, относительно которого она полна, то она замкнута; если не принадлежит - то может быть и не замкнутой)?

Получается, что в приведенном мной отрывке полная ортонормированная система может не принадлежать пространству С. Но тогда на основании чего в отрывке утверждается СУЩЕСТВОВАНИЕ непрерывной функции, соответствующей выбранным коэффициентам (да еще и единственность) - ведь здесь уже не применима теорема Рисса-Фишера.

Буду Вам очень благодарна за объяснение!!!!!

[sup]

Цитата:

Правильно ли я Вас поняла, что все дело в приадлежности или не принадлежности ортонормированной полной системы самому гильбертову пространству (если полная ортонормированная система принадлежит гильбертову пространству, относительно которого она полна, то она замкнута; если не принадлежит - то может быть и не замкнутой)?

Я не очень понимаю, что Вы говорите. Если Вы думаете, что вся проблема в том, что базисные элементы лежат вне подпространства $L$, то это не так. Точнее, в конечномерных пространствах полнота и замкнутость эквивалентны, при условии, что базис принадлежит самому пространству. А вот в общем случае это не так. Вот Вам пример. Рассмотрим какую-нибудь разрывную функцию $f(x)$ на отрезке $[0,1]$. И рассмотрим все непрерывные функции ей ортогональные. Среди них выберем плотное счетное подмножество и ортонормируем его. Получим систему $\varphi_n$ неких непрерывных функций. Вместе с исходной функцией получится ортонормированный базис в $L_2(0,1)$. В силу этого любая непрерывная функция однозначно раскладывается по этому базису. Следовательно $C[0,1]$ полно относительно $\varphi_n$ (поскольку только $f(x)$ ортогональна всем $\varphi_n$, а она разрывна). С другой стороны любая непрерывная функция $g(x)$, НЕ ортогональная $f(x)$ обязана иметь в своем разложении нетривиальное слагаемое вида $af(x)$. А значит ее разложение по системе $\varphi_n$ даст в сумме не $g(x)$, а $g(x)-af(x)$ - разрывную функцию.
Полнота системы - это (по сути) теорема единственности: для всякого набора коэффициентов может существовать НЕ БОЛЕЕ одной функции с такими коэффициентами разложения. Однако, может и вовсе ни одной. Тот факт, что эти коэффициенты взялись "правильным образом" еще не гарантирует, что ряд cходится к чему надо. Еще раз повторю. Полнота и замкнутость - разные вещи. Это немножко похоже на словесную эквилибристику, но ничего не поделаешь - факт есть факт.

Цитата:

Но тогда на основании чего в отрывке утверждается СУЩЕСТВОВАНИЕ непрерывной функции, соответствующей выбранным коэффициентам

Я не нашел такого утверждения в рамках того рассуждения, о котором Вы говорите.

[elizabet]

Sup, спасибо Вам ОГРОМНОЕ за подробное разъяснение и пример!!

Получается, что две функции - одна непрервная функция $g(x)$, другая - разрывная функция $g(x)-af(x)$ имеют одно и то же разложение по системе $\varphi_n$.

Но!! Система $\varphi_n$ ортонормирована и полна относительно пространства С. Поскольку в сепарабельном гильбертовом пространстве понятия полноты и замкнутости ортонормированной системы эквивалентны, то система $\varphi_n$ замкнута относительно пространства С. Значит разложение функции $g(x)$ сильно сходится в С к функции $g(x)$. Поскольку из существования обоих пределов у последовательности функций (поточечного и предела в среднем), следует совпадение этих пределов почти всюду, то: поточечный предел разложения функции $g(x)$ (если он существует) совпадает с пределом в среднем, то есть с сильным пределом, то есть с функцией $g(x)$. Поточечный предел никак не может быть равен функции $g(x)-af(x)$ (что утверждается в отрывке из учебника, который я привела в первом сообщении)!

Очень Вас прошу помочь мне разобраться в этом воросе! Возможно я не понимаю основопалогающих вещей или может быть не правильно интерпретировала эту фразу отрывка из учебника:

elizabet в сообщении #620685 писал(а):

Этим объясняется парадоксальное явление, когда оказывается возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет своей суммой другую (разрывную) функцию."

Возможно в ней под сходимостью понималась не поточечная сходимость...

[elizabet]

Sup, я поняла в чем мое заблуждение - пространство $C[0,1]$ с нормой, совпадающей с нормой в $L_2$, не является гильбертовым (так как не полно), поэтому в нем не эквивалентны понятия полноты и замкнутости системы.

Спасибо Вам ещё раз за примеры!!!

Правда мне не очень понятно, как показать, что система является базисом в $L_2$:

sup в сообщении #621305 писал(а):

Рассмотрим какую-нибудь разрывную функцию $f(x)$ на отрезке $[0,1]$. И рассмотрим все непрерывные функции ей ортогональные. Среди них выберем плотное счетное подмножество и ортонормируем его. Получим систему неких непрерывных функций. Вместе с исходной функцией получится ортонормированный базис в $L_2(0,1)$.

Если Вам не очень сложно, подскажите, пожалуйста, как это сделать!

[sup]

elizabet в сообщении #622888 писал(а):

Sup, я поняла в чем мое заблуждение - пространство С[0,1] с нормой, совпадающей с нормой в L2, не является гильбертовым (так как не полно), поэтому в нем не эквивалентны понятия полноты и замкнутости системы.

Да не в этом проблема ... гильбертово оно или нет. Я вам приводил двумерный пример в котором все гильбертово, а проблема остается. У Вас путаница с понятием разложения по базису. В примере с непрерывной функцией у которой ряд Фурье сходится к разрывному НЕТ ТАКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ. Нет и быть не может. Мы можем написать какой-то ряд исходя из некоторых соображений относительно коэффицентов предполагаемого разложения. Тот факт, что он НЕ сходится к исходной функции и говорит о том, что такого разложения просто не существует. А что же это за ряд такой и что это за функция - его сумма? В той же книжке говорится (и правильно говорится), что это наилучшее приближение к исходной функции в пространстве, порожденном ортонормированной системой. Ну не принадлежит некая функция такому пространству. Значит никакой ряд к ней сходится не будет. Ни поточечено ни в $L_2$, никак.
А вот наилучшая аппроксимация есть. Вы наверное слыхали про теорему о перпендикуляре. Или о минимальном расстоянии от точки до замкнутого выпуклого множества в гильбертовом пространстве. Вот это оно и есть.
И вообще, на мой взгляд это все следствия неудачной терминологии: полнота, замкнутость, разложение в ряд Фурье, которое сходится к чему-то другому.
А суть проста. Пусть у нас есть гильбертово пространство $H$ и ортонормированный базис в нем. Тогда любой элемент однозначно разлагается по этому базису по норме этого пространства. Коэффиценты можно легко и просто найти с помощью скалярного произведения.
Ежели у нас есть некое другое пространство, вложенное в данное $B \subset H$, то ничего особого и не происходит. Любой элемент из $B$, будучи и элементом из $H$, однозначно разлагается по базису. И соответствующий ряд сходится по норме $H$. Другое дело, что нам хотелось бы, чтобы он сходился "получше" в норме $B$. Вот и появляются теоремы, так ли это, при каких условиях и т.п. Никакой экзотики при этом не возникает. Ну а если система не образует базис? Ну тогда нечего и надеяться, что всякий элемент разлагается по этому базису. Это же очевидно. И вот тут-то как черт из табакерки и вылазит эта пресловутая полнота системы относительно пространства. Мы тут же решаем, что все будет как и прежде. Быстренько применяем формулы для коэффицентов через скалярное произведение, составляем ряд и разводим руками: ну надо же, все сделали по правилам, а результат не тот. И что? Что посеешь, то и пожнешь.
Ясно, что в данном случае термин "полная система" вводит в заблуждение. Рассмотрите внимательно тот простой двумерный пример, который я Вам приводил, и посмотрите, что означает полная система в этом случае. Вы убедитесь, что это (если так можно выразится) какая-то "не настоящая" полнота.

elizabet в сообщении #622888 писал(а):

sup в сообщении #621305 писал(а):

Рассмотрим какую-нибудь разрывную функцию $f(x)$ на отрезке [0,1]. И рассмотрим все непрерывные функции ей ортогональные. Среди них выберем плотное счетное подмножество и ортонормируем его. Получим систему неких непрерывных функций. Вместе с исходной функцией получится ортонормированный базис в $L_2(0,1)$.

Если Вам не очень сложно, подскажите, пожалуйста, как это сделать!

Да что тут делать. Пусть есть некая функция $f(x)$. Рассмотрим $U$замыкание в $L_2$ множества всех непрерывные функций, ортогональных $f(x)$. Покажем, что $L_2 = U + \lambda f$ (уж простите мне вольности письма). Это легко. Ну а теперь найдем ортонормированный базис в $U$. Поскольку непрерывные функции плотны в этом пространстве, то можно выбрать некую полную систему таких функций (замыкание линейной оболочки равно $U$). Ну а потом ортонормируем ее. Вот и все.