Остроумное доказательство самого Ферма

[freeot]

В Вики написано, что Ферма написал на полях гипотезу и приписку: "Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него."
Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для $n=4$, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Возможно, "интуитивное прозрение" Ферма заключалось в возможности представления бинома Ньютона $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ таким образом, что "один квадрат мы оставляем, а из суммы двух других членов получаем второй", т.е., есть способ представить $a^2+2ab$ как один квадрат, вынося $2a$ и получив $2a(\frac a2+b)$, чтобы это "стало квадратом", надо приравнять $2a=\frac a2+b$, откуда $b=\frac32a$. "Но разложив, например, $(a+b)^3$ или $(a+b)^4$ нельзя привести все члены, кроме одного к соответствующей степени".

И действительно, подставляя в формулу $b=\frac32a$ любые четные $a$, мы можем получить сколь угодно много Пифагоровых троек. Например,
при $a=4$, $X=b=6, Y=2a=8, Z=(a+b)=10$,
при $a=6$, $X=b=9, Y=2a=12, Z=(a+b)=18$ и т.д.
Но.. не все. Например, мы не получим таким способом тройку $(5,12,13)$
Да и сама идея представить $a^2+2ab$ как один квадрат смела, но не очень обоснована.
Поэтому Ферма так и не представил своего "доказательства" всему миру

А может он просто увидел что решение является геометрическим, по сути?
Операция умножения линейных величин является чуждой для области отрезков и принадлежит плоскости.
Что такое $a^2+b^2=c^2$ - показано Пифагором - это просто.
А что такое $a^3+b^3+c^3=d^3$ - я не знаю, представить сложно. Но это что-то явно не относящееся к задачам плоскости. Наверное, что-то в 3D.
Но весьма определенно, что $3^3+4^3+5^3=6^3$.

Видимо, "разложить степень можно только на то количество степеней с тем же показателем, которое не меньше этого показателя".
Может остроумное доказательство и этого утверждения Ферма знал?
Знал, но.. забыл

[venco]

freeot в сообщении #620996 писал(а):

Видимо, "разложить степень можно только на то количество степеней с тем же показателем, которое не меньше этого показателя".

Это было предположено Эйлером, но оказалось неверно:
$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5$

[freeot]

venco в сообщении #620998 писал(а):

freeot в сообщении #620996 писал(а):

Видимо, "разложить степень можно только на то количество степеней с тем же показателем, которое не меньше этого показателя".

Это было предположено Эйлером, но оказалось неверно:
$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5$

Ну, ладно, раз Эйлер такое же предположил - хоть не стыдно
А для четных степеней тоже опровергнуто? Никто не доказывал возможность или невозможность $a^4+b^4+c^4=d^4$?

[Cash]

Да, причем сравнительно недавно.
В 1986 году Ноам Элкис (Noam Elkies) показал, что решений для случая $n = 4$ бесконечно много (без предъявления конкретного решения).
В 1988 году он нашел и контрпример

$$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$$

В том же 1988 году Роджер Фрай (Roger Frye) нашёл наименьшее

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$$

-- Ср сен 19, 2012 18:21:14 --

Кстати, случаи $n=4$ и $n=5$ единственные, для которых найдены контрпримеры. Для $n=6$ не найдено разложение бикуба на сумму даже шести бикубов. Известно только разложение на 7 слагаемых, например:

$$1141^6=1077^6+894^6+702^6+474^6+402^6+234^6+74^6$$

Это разложение было найдено в 1966 году теми же Ландером, Т. Паркиным и Селфриджом, нашедшими контрпример для $n=5$.
Из свежего, найденного в этом году:

$$337075^6=301875^6+276500^6+230874^6+219426^6+64638^6+26460^6+7602^6$$

$$330485^6=326634^6+208806^6+132300^6+67802^6+67326^6+59787^6+11172^6$$

Найдено Роланом Кристофферсоном (Rolan Christofferson)

[freeot]

Спасибо. Очень интересно.

А как насчет моего доказательства: ссылка удалена.

Предупреждение за ссылку на тему в Карантине.
Она не подлежит обсуждению до исправления.
Обсуждение удалёно.