Как рассчитать разницу давлений внутри турбины?

[Dobriydimka]

Имеется центробежная турбина радиуса 30 см. Лопасти у турбины прямые и радиально расходятся от центра к внешней части. Посередине имеется отверстие для проникновения воздуха, остальной корпус герметичен и не имеет выходов.
Раскручивая турбину до угловой скорости 10000 об/мин воздух внутри начинает приобретать центростремительное ускорение (каждый слой своё) и прижиматься к внешним стенкам турбины.
Подскажите, как рассчитать разницу давлений от центра к внешней части турбины?
Находил барометрическую формулу, но там сила, действующая на газ постоянна, а здесь, чем дальше от центра, тем больше. Надо как-то интегрировать, но я не силён здесь, поэтому прошу помощи у знающих людей.

[Dobriydimka]

И никто мне не поможет:-(

[Munin]

Все боятся слова "турбина", это намекает на какие-то жутко прикладные расчёты :-)

Барометрическая формула происходит из распределения Максвелла-Больцмана, где в показателе стоит просто минус потенциальная энергия. В барометрическую формулу подставляют потенциальную энергию в поле тяжести, линейную $U=mgh.$ Но никто не обязывает брать именно её. У вас другое силовое поле, но оно тоже потенциальное. Найдите потенциал, и подставьте в показатель.

Потенциал, да, вычисляется интегрированием.

[Dobriydimka]

В этом-то у меня и проблема, недоучился :(
Вот что знаю:
есть барометрическая формула $p=p_0 exp (-M a \frac{h - h_0}{R T})$
$h-h_0$=R - это в итоговом случае(наверное пределы интегрирования)
a - центростремительное ускорение (для каждой точки удаленной от центра разное)
$a=\omega^2 R$
получается надо интегрировать как-то по переменной величине, она тут одна - расстояние от центра.
Как это сделать, к сожалению не знаю.

-- 11.09.2012, 09:57 --

Да и ещё. При тех параметрах, которые я задал в первом сообщении получаются какие-то сумасшедшие величины.
Считаю так:
$\omega=2 \pi \frac {10000} {60} = 2093 $

$a=2093^2 * 0,3=1314194,7 $
это получается, что на внешние части турбины действуют перегрузки больше 100000 g.
Правильно считаю?

[Roy Rogers]

Dobriydimka
Мне кажется, что такими методами вы ничего путного не получите. Только сами себя обманете. Нужно нормально численно рассчитать это дело безо всяких барометрических формул, которые здесь неприменимы.

[Munin]

Есть распределение Больцмана (выкидываем максвелловскую часть, она нам неинтересна):
http://ru.wikipedia.org/wiki/Статистика_Максвелла_—_Больцмана
$f(x,y,z)=N\,e^{-\frac{U(x,y,z)}{kT}}.$
Если туда подставлять $U(x,y,z)=mgh,$ то получится
$f(x,y,z)=N\,e^{-mg\frac{h}{kT}}$
(слагаемое $-h_0$ приходит из нормирующего множителя, оно константа и даёт просто константный множитель: $e^{-mg\frac{h-h_0}{kT}}=e^{mg\frac{h_0}{kT}}\cdot e^{-mg\frac{h}{kT}}$). Теперь подставляете вместо гравитационной $U$ свою собственную, например, $U(R)=m\omega^2\tfrac{R^2}{2},$ и получаете своё
$f(R)=N\,e^{-m\omega^2\frac{R^2}{2kT}}.$
Поскольку давление у вас задано в центре, то получится, что при $R=R_0=0$ выполняется условие $p=p_0,$ и
$p(R)=p_0\,e^{-m\omega^2\frac{R^2-R_0^2}{2kT}}=p_0\,e^{-m\omega^2\frac{R^2}{2kT}}.$

Вы этого хотели?

[Dobriydimka]

Уважаемый Munin, большое спасибо за внимание к теме.
Только у меня экспонента получается почти нулю равной(если k-постоянная больцмана).

Roy Rogers, как это рассчитать числами?

Да и ещё, правильно ли я в предыдущем сообщении посчитал величину центростремительного ускорения?

[Himfizik]

Dobriydimka в сообщении #620751 писал(а):

Только у меня экспонента получается почти нулю равной(если k-постоянная больцмана).

А давление в центре по порядку величины какое тогда?

[Munin]

Dobriydimka в сообщении #620751 писал(а):

Только у меня экспонента получается почти нулю равной(если k-постоянная больцмана).

Бывает. Тогда получается, что у вас турбину разорвёт раньше, чем она дойдёт до проектной скорости :-)

"Почти нулю равной" - это какой, всё-таки? Для экспоненты можно порядок оценить. Если у вас в центре 1 атм, а на периферии 100 атм, это ещё терпимо...

[Dobriydimka]

Himfizik
Давление в центре турбины 100000 Па(округлил атмосферное)

Munin
Как считаю экспоненту:
$m=0,029$ кг/моль (воздух)
$\omega=1023$ рад/сек
$r=0,3$ м
$k=1,38 * 10^{-23}$ Дж/К
$T=273$ К

Итого показатель экспоненты получается равен: -3,6^{23}
А саму экспоненту exel рисует равную нулю:(

Нутром чую, что разница давлений должа быть существенная(хотя бы: в центре 1 атм, на внешней стенке 2 атм), а посчитать никак не могу:(

[Alexandr007]

Dobriydimka в сообщении #621241 писал(а):

Как считаю экспоненту:
$m=0,029$ кг/моль (воздух)

Нужно на число Авогадро разделить, чтобы массу "молекулы" получить. И знак у экспоненты должен быть положительный.

[Dobriydimka]

Спасибо.
Разделил на число авогадро.
При отрицательном показателе экспоненты давление у стенок получается 54751 Па, при положительном - 182643 Па.
Больше похож на правду второй результат.

Ещё один вопрос. Можно ли считать сжатие газа в такой турбине изотермическим процессом?

[Munin]

Нет, адиабатическим. Изотермический медленный, адиабатический быстрый.

[Dobriydimka]

Я имел ввиду, что не происходит нагрев газа. Верно? Или я что-то путаю?

[Munin]

Скорее, происходит.