Вариация со свободным концом

[Lesobrod]

Делаю небольшую интерактивную демонстрацию принципа наименьшего действия.
Тело брошено под углом и т.д. Управляющие элементы - несколько "точек", которыми можно задать "траекторию".
Численно считается лагранжиан и действие.

В принципе всё прекрасно. Немного потрудившись, подопытный выставляет траекторию с минимальным действием и
наглядно видит, как движки выстраиваются по параболе (которую в начале не видно!).
Начальными данными являются вектор скорости в точке падения и расстояние между точкой броска и падения.
Если точка броска тоже фиксированна , то всё ОК. Мне стало интересно - а что, если фиксировать только $x$- координату броска?

Существует ли вариационный принцип "с одним свободным концом", или с концом, "ползающим" по заданной линии?
Численно получается, что действие может стать меньше, чем у точной параболы,
если смещать начальную точку. Но это неправильно...

[Padawan]

Lesobrod в сообщении #620377 писал(а):

Существует ли вариационный принцип "с одним свободным концом", или с концом, "ползающим" по заданной линии?

Конечно! См. любую книжку по вариационному исчислению. Например, Эльсгольц "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление".

[Lesobrod]

Да, спасибо, я уже полазил, но зашел в ещё больший ступор.
Обозначим уравнение траектории $y(x)$. Если $L$ - лагранжиан, то для экстремальности действия на открытом конце должно выполняться условие

$$ \frac{\partial L}{\partial {y'}}=0$$

В данном случае это приводит к $y'(0)=0$. И действительно, численно видно, что траектория с "горбом" на левом конце даёт минимум действия. Но она не соответствует реальной траектории движения!

Попробую так сформулировать:
Мы знаем вектор скорости в конечной точке и её координаты.
Известно также расстояние до точки броска. Возможно ли только с помощью принципа наименьшего действия восстановить всю траекторию?
Похоже, что нет...

[Munin]

Есть принцип наименьшего действия в форме Мопертюи - он даёт траекторию, игнорируя время движения.
Есть функция действия как функция координат, и уравнение Гамильтона-Якоби - они дают движение вообще без конечной точки, только из начальной точки и скорости, как 2 закон Ньютона.
Что получится, можно вытащить из Ландау-Лифшица-1, а что не получится - из Маркеева. Там вообще целая коллекция разных вариационных принципов механики собрана.