Оценка количества делителей

[Руст]

(По мотивам задачи maxal a)
Пусть $\tau (n)$ - означает количество натуральных делителей числа n.
1. Доказать, что для любого $\epsilon>0$ существует $C(\epsilon)$, что выполняется $\tau(n)\le C(\epsilon)n^{\epsilon}.$
2. Найти минимальное значение $C(\frac 14)$.
3. Найти минимальное значение $N$, что $\tau(n)<n^{1/4} \ \forall n>N.$

[EtCetera]

2. $C\left(\frac{1}{4}\right)=\dfrac{576}{\sqrt[4]{21\,621\,600}}\approx 8{,}447$.
3. $N$ заключено между $29\,564\,884\,570\,506\,808\,579\,056\,000\approx 2{,}956\cdot 10^{25}$ и $2\,359\,296^4=30\,983\,446\,494\,107\,742\,247\,059\,456\approx 3{,}098\cdot 10^{25}$.

Пользуясь случаем, хочется спросить: есть ли какое-нибудь название для таких чисел $n$, что $HCN_k<n<HCN_{k+1}$ и $\sigma_0\left(n\right)=\sigma_0\left(HCN_k\right)$, где $HCN_k$ $\text{---}$ $k$-ое сверхсоставное число?

[Руст]

EtCetera в сообщении #619208 писал(а):

2. $C\left(\frac{1}{4}\right)=\dfrac{576}{\sqrt[4]{21\,621\,600}}\approx 8{,}447$.

У меня такой же ответ.

Цитата:

3. $N$ заключено между $29\,564\,884\,570\,506\,808\,579\,056\,000\approx 2{,}956\cdot 10^{25}$ и $2\,359\,296^4=30\,983\,446\,494\,107\,742\,247\,059\,456\approx 3{,}098\cdot 10^{25}$.

У меня получалось $N=2^{10}3^65^37^211^2*13*17*19*23*29*31*37*43*53$.

Цитата:

Пользуясь случаем, хочется спросить: есть ли какое-нибудь название для таких чисел $n$, что $HCN_k<n<HCN_{k+1}$ и $\sigma_0\left(n\right)=\sigma_0\left(HCN_k\right)$, где $HCN_k$ $\text{---}$ $k$-ое сверхсоставное число?

Я не знаю. В криптографии, числа у которых все простые делители меньше B, называют B - гладкими.

[EtCetera]

Руст в сообщении #619770 писал(а):

У меня получалось $N=2^{10}3^65^37^211^2*13*17*19*23*29*31*37*43*53$.

Странно. Ваше число $2^{10}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43\cdot 53=4\,050\,404\,528\,600\,828\,990\,592\,000$ $\approx 4{,}050\cdot 10^{24}$. Следующее сверхсоставное число равно $\text{HCN}_{227}=2^6\cdot 3^4\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 43\cdot 47\cdot 53$ $=4\,927\,480\,761\,751\,134\,763\,176\,000\approx 4{,}927\cdot 10^{24}$ и для него $\dfrac{\tau\left(\text{HCN}_{227}\right)}{\sqrt[4]{\text{HCN}_{227}}}\approx \dfrac{1720320 }{\sqrt[4]{4{,}927\cdot 10^{24}}}\approx 1{,}155$.

[Руст]

Значит, я ошибся.