Задача Жозефа Бертрана на теор. вероятности

[Bod]

В книге Б.В. Гнеденко мне попалась следующая задача:
Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность, что её длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?
Там же производится демонстрация нескольких способов решения данной задачи которые приводит к разным решениям, но увы не дается ответ, так каким же способом её решать правильно, в связи с чем у меня и возник вопрос, какова же методика правильного решения данной задачи.

[neo66]

Дело в том, что в той форме, как она поставлена, эта задача некорректна, поскольку не определено, что значит "наудачу". Этот факт эта задача и демонстрирует. Правильным решением будет сначала определить, что значит "наудачу", а затем уже решать.

[Brukvalub]

Можно ещё сказать так: в разных вариантах решения задачи Бертрана используются разные вероятностные пространства, на каждом из которых вероятностная мера задаётся своим способом, что и приводит к разным ответам.

[Capella]

А как она, мера, задаётся? Я эту задачу не знаю, но на мой взгляд, вероятностное пространство является площадью круга в $\mathbb{R}^2$, и я пока вижу одно решение этой задачи - поскольку стороны равны и сами являются хордами, то достаточно рассмотреть полукруг между "параллельным одной из сторон диаметром круга - стороной треугольника" и "стороной треугольника - оставшейся частью круга". Пропорция должна быть между отрезками на опущеному к центру радиусу, лежащему под прямым углом к стороне треугольника и диаметру. Сами отрезки получаются при разбиении радиуса стороной треугольника.

[Bod]

Цитата:

Дело в том, что в той форме, как она поставлена, эта задача некорректна, поскольку не определено, что значит "наудачу". Этот факт эта задача и демонстрирует. Правильным решением будет сначала определить, что значит "наудачу", а затем уже решать.

То есть понятие - «взять случайным образом» не определено и говорить - «берем произвольным образом любую возможную хорду (с учетом того что все они равновероятны) некорректно»? Тогда позвольте поинтересоваться, как корректно должна звучать данная задача.

[Someone]

Обычно рассматриваются три варианта.
1) Фиксируем какой-нибудь диаметр круга. На диаметре берём случайную точку (равномерное распределение на диаметре) и проводим через неё хорду, перпендикулярную диаметру.
2) Фиксируем какую-нибудь точку на окружности. Вторую точку берём случайно на той же окружности (равномерное распределение на окружности), и хорду проводим через две точки.
3) Берём случайную точку в круге (равномерное распределение в круге), через неё проводим радиус и хорду, перпендикулярную радиусу.

Ответы во всех трёх случаях разные.

[Bod]

Цитата:

Ответы во всех трёх случаях разные.

Вот это то меня и смущает
Я не очень понимаю в чем заключается некорректность постановки задачи. Тем более что в большинстве задач на теорию вероятности используется фраза «Наудачу берется», без каких либо дополнительных уточнений.

[ИСН]

Bod писал(а):

Я не очень понимаю в чем заключается некорректность постановки задачи. Тем более что в большинстве задач на теорию вероятности используется фраза «Наудачу берется»

Ровно в этом она и заключается. Прочтите эти слова дважды.
Ну а в большинстве задач либо пространство, так сказать, такое узкое, что не допускает разных толкований, либо уточнения всё-таки есть (типа "точка выбрана случайным образом на окружности...").

[Macavity]

Есть такая книжка Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике, в ней этот парадокс рассмотрен (http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B+%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8+%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9&network=1)

Кроме того, насколько помню, он рассматривался у Гарднера (кажется, Математические головоломки и развлечения).

[faruk]

Я думаю, наиболее объективной случайной величиной будет функция двух случайных величин — случайной точки в круге и случайного угла, под которым через эту точку проходит хорда.

[Dan_Te]

Bod, вот вам еще пример:
"Сколькими способами можно разложить два шарика в две коробки?"
Эта задача поставлена некорректно, потому что не указано, являются ли шарики разными, и являются ли коробки разными. Соответственно, возникают три ответа:
1) коробки одинаковые (неважно, какие шарики). Тогда у нас всего два варианта, можно положить шарики вместе или отдельно.
2) коробки разные (например, правая и левая), шарики одинаковые. Тогда есть три варианта: два шарика в левой/по шарику в коробке/два шарика в правой.
3) коробки разные (правая и левая), шарики разные (большой и маленький). Тогда вариантов будет уже четыре.

Это комбинаторная задача. Сделаем из нее вероятностную: представим себе, что нас спрашивают, какова вероятность того, что после случайного размещения шариков по коробкам в одной коробке окажется два шарика?
Обычно "правильный" ответ на эту задачу - 1/2. Хотя в условии задачи ничего про это не сказано, мы мысленно представляем себе процесс случайного размещения шариков по коробкам. Допустим, мы отвернулись, а кто-то в это время кидает шарики в коробки за нашей спиной. Вот он берет в руку первый шарик... оп-па, и шарики уже стали различными, потому что есть "первый" и "второй". Кроме того, раз уж бросающий кидает шарики, то и коробки будут различными: одна стоит правее или дальше другой, и т.п.

Таким образом, мы сами додумываем задачу до конца и вводим дополнительные условия, выбирая ход рассуждений, который более привычен для нас. В данном случае мы свели задачу к третьему варианту и получили ответ 1/2.

Теперь представим себе инопланетянина Васю, на родной планете которого шарики кидают по-другому. Там ставят рядом две коробки, чертят на песке равносторонний треугольник и сажают в каждый угол по демону. "Правый демон" кидает все, что попало в треугольник ближе всего к нему, в правую коробку. "Левый демон" кидает все в левую коробку. "Демон-делитель" располовинивает попавший к нему предмет и кидает по половинке в каждую коробку. Инопланетянин Вася берет два маленьких шарика из пластилина, слепляет их вместе и случайным образом кидает их в треугольник, и к какому демону ближе окажутся шарики, тот и решит их судьбу.
Естественно, что ответ Васи на задачу "с какой вероятностью после случайного размещения шариков по коробкам в одной коробке окажется два шарика" будет 2/3, и он будет прав, потому что у него свое, инопланетное понимание "случайного размещения шариков по коробкам".

В повседневной жизни мы всегда отвечаем 1/2, потому что пример с инопланетянином Васей - всего лишь необычный мысленный эксперимент, не соответствующий нашему интуитивному пониманию "случайного выбора". Парадокс Бертрана наглядно показывает, что в некоторых ситуациях у нас нет общепринятого или интуитивного понимания случайности, поэтому там нет одного "правильного" ответа. Однако я видел в каких-то учебниках рассуждения на эту тему, где приводятся аргументы в пользу того, что один из способов решения является более "привычным" для нас, чем остальные.

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

faruk писал(а):

Я думаю, наиболее объективной случайной величиной будет функция двух случайных величин — случайной точки в круге и случайного угла, под которым через эту точку проходит хорда.

Не, не объективно. Случайный угол еще куда ни шло (равномерное распределение на отрезке $[0,2\pi]$), но вы не описали, как вы собираетесь выбирать случайную точку в круге.

[ИСН]

faruk, Вы решаете другую задачу, чёрт знает какую (что-то типа "в лесу стреляли из пулемёта, оценить среднюю длину дырки в стволе"), а оригинальная задача Бертрана именно что некорректна, и говорить здесь о какой-то "объективности" - совершенно мимо кассы.

[faruk]

Dan_Te писал(а):

Не, не объективно.

Назовите более объективный подход.

Dan_Te писал(а):

...вы не описали, как вы собираетесь выбирать случайную точку в круге.

Поэтому я до сих пор и не решил эту задачу.

ИСН писал(а):

оригинальная задача Бертрана именно что некорректна

Задача Бертрана потому и называется парадоксом, что выбор случайной хорды оказывается не случайным. Поэтому и результаты разные.


http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%2 ... ability%29

[bot]

faruk писал(а):

Назовите более объективный подход.

В том и дело, что его нет. Разве что Вы сумеете точно определить, что такое объективный подход.

Цитата:

Задача Бертрана потому и называется парадоксом, что выбор случайной хорды оказывается не случайным.

Во как!
Случайный выбор должен быть описан - об этом Вам говорят.
Навскидку выбрал три способа, но их уже Someone описал. Вот натянул ещё один:
Вписываем окружность в квадрат, на противоположных сторонах случайно берём по точке - распределение равномерное. Соединив эти точки получим секущую, а внутренняя часть пусть и будет нашей случайной хордой.

[Dan_Te]

faruk писал(а):

Назовите более объективный подход.

Нет его. Если провести голосование "какой из способов решения парадокса Бертрана вам больше нравится" среди всего населения планеты, то победивший вариант можно с некоторыми оговорками назвать более объективным, чем остальные. Но в любом случае, "объективность" - не математическое понятие.

faruk писал(а):

Задача Бертрана потому и называется парадоксом, что выбор случайной хорды оказывается не случайным. Поэтому и результаты разные.

Малопонятная фраза. Выбор очень даже случаен, просто "случайность" может быть разная.

faruk писал(а):

Поэтому я до сих пор и не решил эту задачу.

Осмелюсь предположить, что и не решите. Довольно сложно решать некорректно поставленные задачи.

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

bot: хе-хе =)))