Монотонность

[Falex]

Как мне определить,что радиус окружности,проходящей через точки (выделенные жирным шрифтом) и точкой на "бегущей" дуге, изменяется монотонно?

http://slil.ru/24243530

[Алексей К.]

Если дуга, по которой бежит точка, действительно симметрична (как на рисунке), то о монотонности радиуса не может быть и речи: функция симметрична, посрединке экстремум. В общем случае уверен, что если кривизна дуги монотонна, то и оно будет монотонно.
Возможно, потребуется условие однозначного проектирования дуги на хорду.

А подробнее посмотрю, как только условия капиталистического труда слегка ослабнут (типа начальник уйдёт кофе попить).

Но вы-то можете явно выписать (сюда) целевую функцию, монотонность которой исследуется?
И скорее всего надо говорить о монотонности кривизны полученной дуги (а не радиуса). Например, дуга может совпасть с хордой (кривизна 0).

[Falex]

Я могу добавить,что
А это кривая получается,если мы проведем прямую,параллельную прямой,проходящей через фокусы эллипса.Эта прямая отсечет часть эллипса,состояшего из сегмента и дуги эллипса.
Хорошо.Мне очень нужно доказать это аналитически.

Спасибо.

Добавлено спустя 2 минуты 54 секунды:

P.S:надо рассматривать эту дугу слева или справа от экстремума.А сама дуга-то симметрична относительно этого экстремума...

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

А подробнее посмотрю, как только условия капиталистического труда слегка ослабнут (типа начальник уйдёт кофе попить).

Ну ешё и жара в кап-стране влияет: у меня ведь статейка лежит в редакции, где ответ на первый вопрос дан, а я чё-то думаю... А в то, что про эллипс написано я пока даже не вчитался...

[Falex]

Ну так как доказать-то аналитически насчет такой кривой?

[Алексей К.]

Тогда всё должно быть просто. У Вас не половинка эллипса (как было на изначальном рисунке), а четвертинка, --- между двумя соседними вершинами. Точка $A$ имеет координаты $(p,0)$, $B$ --- $(0,q)$, подвижная точка между ними $C=(p\cos t,q\sin t)$, $p,q$ --- полуоси эллипса.
$R(t)=\frac{a(t)b(t)c}{4S(t)}$, где $a(t)=BC,b(t)=AC,c=AB=const$ --- стороны, $S(t)$ --- площадь треугольника. Берём, дифференцируем... шаги начальника в коридоре... он хороший человек, это я ленюсь работать, хочу задачки решать...

Добавлено спустя 1 час 7 минут 15 секунд:

Вы пишите, если не получается, или не понятно. И если всё получилось, тоже напишите...

[Falex]

Ну там не четвертинка эллипса,а даже меньше,т.к. я рассматриваю в качестве кривой что-то меньшее,чем половинка эллипса,а именно
сегмент $A_1 A_2$ и дугу,которая находится выше этого сегмента (см.рисунок).
Пусть нам известны $p,q,p_1,q_1,\varphi$,где $\varphi$ - угол между сегментом $A_1 A_2$ и дугой выше его.
Я никак не могу найти $BC$ и $A_1C$.
P.S:а под $S(t)$ вы подразумеваете площадь треугольника $A_1BC$.
И как вообще получена формула

$$ R(t)=\frac{a(t)b(t)c}{4S(t)}. $$

http://slil.ru/24246136

[Falex]

У меня такие значения получились:

$$ a(t)=\left((p_1cos(t) -p_1)^2 + (q_1sin(t))^2\right)^{1/2}, $$

$$ b(t)=\left((p_1cos(t))^2+(q_1 -q_1sin(t))^2\right)^{1/2}, $$

$$ c=\left(p_1^2 + q_1^2\right)^{1/2}. $$

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

P.S:после того как я продифференцирую $R(t)$ по $t$ что делать дальше?

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

У Вас не половинка эллипса (как было на изначальном рисунке), а четвертинка, --- между двумя соседними вершинами

Под четвертинкой я имел в виду следующее:
\begin{picture}(70,60)(35,30) \put(-35,0){\line(1,0){70}} \put(0,-30){\line(0,1){60}} \put(0,0){\oval(35,30)} \put(0,0){\oval(36,31)[tr]} \put(0,0){\oval(37,32)[tr]} \put(0,0){\oval(34,29)[tr]} \put(0,0){\oval(33,28)[tr]} \end{picture}

Для кривых, которые Вы изобразили на обоих рисунках, утверждение неверно:


Тот факт, что Ваша кривая начинается повыше горизонтальной полуоси,
ничего не меняет (но усложняет задачу).

Falex писал(а):

У меня такие значения получились:

$$ a(t)=\left((p_1cos(t) -p_1)^2 + (q_1sin(t))^2\right)^{1/2}, $$

$$ b(t)=\left((p_1cos(t))^2+(q_1 -q_1sin(t))^2\right)^{1/2}, $$

$$ c=\left(p_1^2 + q_1^2\right)^{1/2}. $$

Неправильно (уточню, что я ввёл нетрадиционные обозначания для полуосей, $p$ и $q$, так как $a$ и $b$ уже заняты под длины сторон).

$ \begin{array}{ll} a(t)=\sqrt{(p \cos(t) -p_1)^2 + (q \sin(t)-q_1)^2},\quad& (p_1=p\cos t_1)\\ b(t)=\sqrt{(p \cos(t) +p_1)^2 + (q \sin(t)-q_1)^2},\quad& (q_1=q\sin t_1) \end{array} $

В параметрическое уравнение эллипса
$ \begin{array}{l} x(t)=p \cos t\\ y(t)=q \sin t \end{array} $
входят длины его истинных полуосей ($p$ и $q$), а не искусственные $p_1$ и $q_1$, получившиеся при некотором значении $t=t_1$.
По-прежнему, отвечать смогу не очень активно...

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:

Страшно подумать, что будет, когда дело дойдёт до дифференцирования!
Так ведь и так очевидно, что радиус не будет монотонным!
Будет экстремум в точке $H$.
Может, мы чего-то не понимаем друг у друга...

[neo66]

Вероятно, имеется в виду, что переменная точка $G$ меняется от $B$ до $H$ на Вашем рисунке.

[Falex]

neo66,да:это и имелось ввиду.
OK.Пусть даны полуоси эллипса $p,q$; и угол $\varphi$ между сегментом $B\,A$ и дугой исходного эллипса,лежащей выше $B\,A$. Можно ли утверждать,что радиус окружности, проведенной через точки $A$, $B$ и точку $G$,пробегающей дугу $H\,B$, изменялся монотонно (увеличивался или уменьшался)?
Или что тоже самое: угол $A\,G\,B$ изменялся монотонно?
Если да,то почему...если нет,то тоже почему )

P.S:
1)А почему в точке $H$ достигается максимум.Эт надо продифференцировать $R(t)$, найти корни этой производной (скорее всего это будут $t=0,\pi/2,\pi,3\pi/2$) ну и найти максимум (эт будет скорее всего $\pi/2$).
дык такая производная получится..огого какая...

2)А $c$ я правильно нашел

$$ c=\sqrt {p_1^2 + (q-q_1)^2} $$

3)Как мне найти координаты точки $B$ или $A$ (что то же самой,что найти $t_1$),если знать $p$, $q$, $\varphi$?


4)А где так красиво нарисовали?В MathCad?
А можете нарисовать пятерки или побольше окружностей,проходящих через точки $B$,$A$,$G$ (последняя точка меняется)
и радиусы этой окружности...лучше файлик выложить где-нибудь

Спасибо.

[Алексей К.]

neo66 писал(а):

Вероятно, имеется в виду, что переменная точка $G$ меняется от $B$ до $H$ на Вашем рисунке.

Falex писал(а):

,да:это и имелось ввиду.

Ну дык я же об этом талдычить сразу начал (написано большими буквами жирным шрифтом красным цветом; в конце 3 восклицательных знака). Об остальном как-нибудь попозже. А про то, как рисую --- в выходные напишу.

[Falex]

1)Вообще..как я понял ответ отрицательный об монотонности радиуса? ((
2)А как д-ть,что экстремум $R(t)$ будет в точке $H$?

Я взял окружность,проведенную через точки $A$,$B$,$G$.
Получил параметры

$$ a(t)=\sqrt{(qsin(t) - q_1)^2 + (p_1 - pcos(t))^2}, $$

$$ b(t)=\sqrt{(qsin(t) - q_1)^2 + (p_1 + pcos(t))^2}, $$

$$ c=2 p_1. $$

Подсчитал площадь треугольника $A\,B\,G$ по формуле Герона.
Подсчитал $R(t)$ по вышеуказанной формуле...производную...но она не равна нулю при $t=0,\pi/2,\dots$.. ((

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Алексей К.,можете побыстрее ответить:это для меня очень важно.

[Алексей К.]

Итак, мы до сих пор не сговорились об условии задачи!!!
По поводу угла $\varphi$ и переменной $t$, которую я использовал
в параметрическом описании эллипса: это совсем разные вещи:
$t$ не является полярным углом точки! (Когда этот эллипс был окружностью,
$\varphi$ и $t$ совпадали; но когда ту окружность сплюснули в эллипс,
$t$ стало некой переменной, которую реально "не видно"). Возможно,
это Вас (тоже) запутывает.

Итак, проверяем постановку задачи:



Вариант 1:
Дан эллипс $AHBK$, $AB=2p$ --- большая ось, $HK=2q$ --- малая.
Прямая $CD$, параллельная $AB$ и лежащая выше её, отсекает дугу $CHD$
(координаты точки $C=(p_1,q_1)=(p\cos t_1, q\sin t_1)$.
По дуге $CHD$, от $C$ до $H$, бежит точка $G=(p\cos t, q\sin t)$, $t_1<t<\pi/2$.
На мотонотонность исследуется радиус окружности $CGH=C\,G(t)\,H$.

поправлено по просьбе заказчика
На мотонотонность исследуется радиус окружности $CGD=C\,G(t)\,D$.


Вариант 2 (явно попроще в смысле громоздкости формул):
Дан эллипс $AHBK$, $AB=2p$ --- большая ось, $HK=2q$ --- малая.
По дуге $AHB$, от $A$ до $H$, бежит точка $G=(p\cos t, q\sin t)$, $0<t<\pi/2$.
На мотонотонность исследуется радиус окружности $AGH=A\,G(t)\,H$.

Вариант 3:
Нечто, не попадающее в перечисленные варианты. Согласитесь --- излагаете
Вы весьма путанно. Полагаю --- учитесь (желаю успехов).

Какой берём? 1? 2? 3?

PS.
К вопросу о том, как я рисую.
Вот пример, к нашим картинкам с эллипсами отношения не имеющий
- они посложнее, не в 3 строчки.
Пишу примерно такие абракадабры (прямо ручками, и тоже когда никто не видит).

%!
300 300 translate 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto
0 3 3333 {
%  dup 90 mod 0 eq{currentpoint stroke moveto currentrgbcolor 3 1 roll setrgbcolor} if
  dup 10. div exch 2 copy cos mul 3 1 roll sin mul lineto
} for stroke

Скопируйте этот код, включая первую строку (%!) в файл с названием Archimed.ps,
натравите на него PostScript viewer (GsView, например), и посмотрите.
Потом уберите комментарий с 4-й строке (символ %), и снова посмотрите.
Потом замените 3333 на 2222 или 4321, замените 10. на 33. или ещё чего-нибудь,
и снова посмотрите...

[Falex]

Цитата:

На мотонотонность исследуется радиус окружности ...

,т.е. окружности,проходящей через эти точки.

Берем 1 вариант!!!

Жду ответа по поводу монотонности и эктремума.
Спасибо.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 15 секунд:

А как такую красоту нарисовали в последнем посте?
Лучше исследовать на монотонность радиус окружности, проведенной через точки $D$,$G$,$C$