Полные нормированные пространства

[mihailm]

понятно что речь идет о нормах на одном и том же линейном конечномерном пространстве

[ewert]

alcoholist в сообщении #619145 писал(а):

$C[0,1]$ -- подпространство в $L^p[0,1]$

Ну не подпространство же, этот термин прочно занят.

vladb314 в сообщении #619450 писал(а):

mihailm в сообщении #619446 писал(а):

Ну если по одной метрике расстояние мало, то и по другой мало и наоборот, притом равномерно

Нет, в общем случае для метрик конечномерных пространств это неверно.

Имелись в виду метрики, индуцированные нормами -- речь же о нормированных пространствах. Под эквивалентностью норм или, если угодно, "равномерностью" понимается то, что любые две нормы двусторонне оцениваются друг через друга. Т.е.

$(\forall\; \|\cdot\|_{\alpha},\|\cdot\|_{\beta})\ \exists\;C_1,C_2>0:\ (\forall x)\ C_1\|x\|_{\alpha}\leqslant\|x\|_{\beta}\leqslant C_2\|x\|_{\alpha}.$

Следует из теоремы Вейерштрасса: в конечномерном случае функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, достигает там своего минимума и максимума. Правда, следует довольно долго.

[vladb314]

ewert в сообщении #619610 писал(а):

Правда, следует довольно долго.

Но всё же следует. Это я и хотел узнать. Спасибо большое!