Дифференциал

[Shtorm]

мат-ламер в сообщении #619297 писал(а):

И где там искать прямоугольники - я тоже не понял.

Я имел ввиду, что $dx$ - элементарная ширина прямоугольника, $f(x)$ - высота прямоугольника, тогда $f(x)dx$ - элементарная площадь прямоугольника.

[Ales]

Дифференциал можно при желании рассматривать, как алгебраическое действие:

$d(x+y)=dx+dy, d(xy)=xdy+ydx, \int \limits _{x_1}^{x_2} dx = x_2 - x_1$.

Чтобы понять зачем дифференциал, как понятие,
нужен, надо поработать с анализом многих переменных, криволинейными и поверхностными интегралами.

-- Сб сен 15, 2012 21:39:08 --

Современные курсы анализа так построены,
что студенты не понимают, что такое дифференциал.
Слишком сложна логическая конструкция определения дифференциалов через производные.
А производная логически проста.

Думаю, что дифференциал тоже можно ввести простым способом,
но не в рамках стандарта математического анализа 19 - 20 веков.

[Joker_vD]

Дифференциалом $df(x_0)$ функции $f$ в точке $x_0$ называется отображение $df(x_0)\colon T_{x_0}\mathbb R\to T_{f(x_0)}\mathbb R$, задаваемое правилом $h\mapsto f'(x_0)h=df(x_0)(h)$.

[gris]

мат-ламер в сообщении #619263 писал(а):

Допустим есть дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Что означает запись ? И почему это выражение мы можем интегрировать? И что означает интеграл от этого всего?

Запишем уравнение в виде $f(x)dx+(-g(y))dy=0$

Так как $\dfrac {\partial }{\partial y}f(x)=\dfrac {\partial }{\partial x}g(y)(=0)$, то существует функция двух переменных $F(x,y)$, для которой левая часть является дифференциалом, а функции $f$ и $-g$ частными производными.
Раз дифференциал функции тождественно равен нулю, то сама функция равна константе. Ну а если проинтегрировать частную производную по переменной дифференцирования, то получим аддитивную компоненту самой функции.
Можно и не притягивать полные дифференциалы, а объяснить попроще, испльзуя инвариантность первого дифференциала и локальную зависимость, но так сразу видны все ответы на Ваши вопросы.

[SpBTimes]

Дифференциал $df(x)h$ - значение линейного оператора на некотором векторе $h$