Задача о самолетах

[Samir]

Летят равномерно и прямолинейно четыре самолета A,B,C,D. Их траектории не параллельны и никакие три траектории не пересекаются в одной точке. Самолеты считать материальными точками. Известно, что встретятся самолеты (A,B), (A,C), (B,C), (A,D), (B,D). Доказать, что встретятся самолеты (C,D).

Получается, что траектории этих самолетов находятся в одной плоскости и понятно, что траектории самолетов C и D пересекаются, но как доказать, что они встретятся? Может, надо использовать уравнения движения.

[vladb314]

После встречи двух самолётов в одно время в одной точке их общее количество уменьшится на 2...

[Shtorm]

Samir в сообщении #619083 писал(а):

Получается, что траектории этих самолетов находятся в одной плоскости...

А откуда следует, что траектории всех самолётов находятся в одной плоскости?

Samir в сообщении #619083 писал(а):

Известно, что встретятся самолеты (A,B), (A,C), (B,C), (A,D), (B,D).

Под встречей самолётов понимать их столкновение или просто пересечение траекторий?

-- Сб сен 15, 2012 14:02:38 --

Перечитал внимательнее Ваше сообщение. Да встреча - это и есть столкновение. Попробуйте воспользоваться параметрическими уравнениями прямой в трёхмерном пространстве. Для каждого самолёта - своя система из трёх уравнений. Параметр $t$ используйте как время полёта. Ищите точки пересечения этих прямых и соответсвенно момент времени $t$.

[Алексей К.]

Shtorm,

чего здесь очевидно не надо делать --- так это воспальзываться параметрическими уравнениями прямой в трёхмерном пространстве.

[Shtorm]

Samir, и сдаётся мне, что важно знать, летят ли самолёты с одной скоростью или с разными, и движение начали в один и тот же момент времени или в разные. А то задача может дойти до абсурда.

-- Сб сен 15, 2012 17:43:20 --

Ага. Из построения траекторий видно, что и правда все траектории должны лежать в одной плоскости, и из этого же построения видно, что траектории C и D пересекаются. Но что касается столкновения - то всё зависит от скорости, времени начала полёта и координат начала полёта.

[apriv]

Shtorm в сообщении #619209 писал(а):

Samir, и сдаётся мне, что важно знать, летят ли самолёты с одной скоростью или с разными, и движение начали в один и тот же момент времени или в разные. А то задача может дойти до абсурда.

Нет, совершенно не важно.

[Samir]

Цитата:

Под встречей самолётов понимать их столкновение или просто пересечение траекторий?

Во время встречи столкновений не происходит

[Shtorm]

Samir, ха! А я-то тут уже уравнения движения прикидывал! А чертёж в качестве доказательства не пойдёт?

[apriv]

Samir в сообщении #619235 писал(а):

Цитата:

Под встречей самолётов понимать их столкновение или просто пересечение траекторий?

Под встречей самолетов понимать пересечение траекторий

Конечно, траектории пересекутся, но они еще и в одно время в точке пересечения окажутся.

[Samir]

Shtorm
Думаю, пойдет, только у меня пока идеи нет. Тут, наверное, без уравнений движения можно

-- Сб сен 15, 2012 17:43:31 --

apriv
Я там неправильно написал. Понимается, что самолеты не столкнутся

[apriv]

Samir в сообщении #619242 писал(а):

Я там неправильно написал. Понимается, что самолеты не столкнутся

Ага. Ну так, вроде решение-то уже написано.

[Shtorm]

Делаем чертёж


А потом доказываем от противного: "Предположим, что C и D не пересекаются, тогда.....

[Samir]

Shtorm, C и D пересекаются, это понятно, или вы имеете в виду, что надо предположить, что самолеты не встретятся?

[apriv]

Samir в сообщении #619275 писал(а):

Shtorm, C и D пересекаются, это понятно, или вы имеете в виду, что надо предположить, что самолеты не встретятся?

Пересекаются, и, стало быть, ничего доказывать уже не нужно.

[Samir]

Тут дело в том, что если траектории пересекаются, то это не значит что, самолеты, летящие по этим траекториям встретятся. Траектории у самолетов известны заранее. Они тут как автомобильные дороги.