Равновеликие "шапочки"

[Edward_Tur]

Для каких $n>3$ существует многочлен степени $n$, график которого образует с осью $X$ $n-1$ равновеликих "шапочек"?

[Утундрий]

Можно пример четной степени для которой не существует многочлена с требуемыми свойствами?

[nnosipov]

А что, многочлены Чебышёва 2-го рода не годятся?

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #616339 писал(а):

А что, многочлены Чебышёва 2-го рода не годятся?

Годятся! А кроме многочленов Чебышёва 2-го рода (с точностью до сдвига, растяжения и некоторого множителя)?

[Утундрий]

Edward_Tur в сообщении #616369 писал(а):

А кроме

Их достаточно узкая четно-возмущенная окрестность.

[alcoholist]

без ограничения общности

Edward_Tur в сообщении #616369 писал(а):

с точностью до сдвига, растяжения и некоторого множителя

многочлен степени $n$ имеет вид $P=x(x-x_1)\ldots(x-x_{n-2})(x-1)$ ($n-2$ параметров $x_i\in(0;1)$)

равенство площадей дает $n-2$ уравнений, связывающих параметры:

$$ R_i(x_1,\ldots,x_{n-2})=\int_{x_i}^{x_{i+2}}Pdx=0,\quad i=1,\ldots,n-2 $$

(здесь $x_0=0$, $x_{n-1}=1$).

Что-то мне указывает на то, что матрица $\partial R_i/\partial x_j$ невырождена там, где надо, поэтому неправда, что

Утундрий в сообщении #616372 писал(а):

Их достаточно узкая четно-возмущенная окрестность.

...

Например, в случае $n=2$ получается только один многочлен ($x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$, $x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{4}$)

[Утундрий]

alcoholist в сообщении #616500 писал(а):

равенство площадей

А, так вот что ТС подразумевал под "равновеликостью". Я-то всего лишь симметричной картинки добивался и никак не мог воскурить в чем же тут подвох.

[Утундрий]

alcoholist в сообщении #616500 писал(а):

многочлен степени $n$ имеет вид $P=x(x-x_1)\ldots(x-x_{n-2})(x-1)$ ($n-2$ параметров $x_i\in(0;1)$)

Кстати, можно еще на любой не имеющий действительных корней многочлен домножить. Что окончательно загромождает процесс поиска ответа...

[alcoholist]

Утундрий в сообщении #617091 писал(а):

Кстати, можно еще на любой не имеющий действительных корней многочлен домножить. Что окончательно загромождает процесс поиска ответа

нет, там указана степень многочлена и кол-во шапочек

[Руст]

alcoholist в сообщении #617210 писал(а):

Утундрий в сообщении #617091 писал(а):

Кстати, можно еще на любой не имеющий действительных корней многочлен домножить. Что окончательно загромождает процесс поиска ответа

нет, там указана степень многочлена и кол-во шапочек

Никаких умножений на другой многочлен положительной степени. Задача уже давно решена и $P(x)=f'(x)$, где $f(x)$ имеет $[n/2]$ точек минимума и $[n/2]$ точек максимума (в случае нечетности n еще один минимум или максимум) с равными значениями максимумов и минимумов. За счет константы можно принять $f_max=a =-f_min$. Такой многочле единственен с точностью до сдвигов и масштабов по осям $f(x)=cos((n+1)arccos x)$, соответственно $P(x)=af'(x), f(x)=\cos (n+1)\arccos (bx+c), b\not =0.$

[nnosipov]

Вы, видимо, имеете в виду теорему Коркина-Золатарёва о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля по $L_1$-норме. Тоже об этом подумал.

[Утундрий]

Понятно ровно до следующего момента:

Руст в сообщении #617271 писал(а):

Такой многочле единственен с точностью до сдвигов и масштабов по осям

Этот результат может быть получен элементарно?

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #617621 писал(а):

Этот результат может быть получен элементарно?

Да, доказательство вполне элементарно.

[Утундрий]

С понедельника у меня будет возможность подумать. До вторника.
nnosipov
Если не излишне затруднительно, нельзя ли обозначить направление думанья?

[nnosipov]

Утундрий, я имел в виду элементарное доказательство следующего утверждения: многочлен $U_n(x)/2^n$ является единственным нормированным (со старшим коэффициентом $1$) многочленом степени $n \geqslant 1$, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке $[-1;1]$ в $L_1$-норме. Здесь

$$ U_n(x)=\frac{\sin{((n+1)\arccos{x})}}{\sin{(\arccos{x})}} $$

--- многочлен Чебышёва 2-го рода. Доказательство основано на использовании тождеств с тригонометрическими суммами (ровно так же может быть доказано и экстремальное свойство многочленов Чебышёва 1-го рода). Думается, что исходная задача про "шапочки" сводится именно к этому. Правда, смущает то обстоятельство, что в условии не упомянуты "треугольнички", которые на краях и которые также должны быть равновелики "шапочкам". Является ли это обстоятельство существенным, сказать не берусь.

Пока ходил в магазин за хлебом (с), сообразил, что никакого Коркина с Золотарёвым здесь не нужно, а достаточно одного Чебышёва (собственно, об этом уже написано выше, я как-то не вчмтался). Изменим отрезок, на котором заданы "шапочки", так, чтобы крайние "треугольнички" тоже стали равновеликими "шапочкам". Тогда на полученном отрезке для некоторой первообразной $F(x)$ исходного многочлена $f(x)$ будем иметь альтернанс на $n+2$ точках. Тогда $F(x)$ наименее уклоняется от нуля в равномерной метрике (это доказывается элементарно), а значит, $F(x)$ --- многочлен Чебышёва 1-го рода (с точностью до понятно чего). Стандартное элементарное доказательство последнего факта есть, например, в книге Яглом, Яглом "Неэлементарные задачи в элементарном изложении", М., 1954. Но есть и другое, тоже элементарное доказательство, которое проще и которое использует некоторые тригонометрические тождества. Впрочем, оно тоже довольно известно.