Уравнение Шредингера

[Sergey K]

Как расписать второй закон Ньютона в той или иной ситуации, я представляю. А как проделать это с уравнением Шредингера? По какому принципу составляются:

1. уравнения для системы из одной частицы, для двух, n частиц? Добавляются новые слагаемые, каждое из которых описывает еще одну частицу?
2. одномерном движении, многомерном? Добавляются новые частные производные?
3. если дана система частиц, то член отвечающий за энергию - это суммарная энергия частиц?
4. в случае не стационарного уравнения так же?
5. что-то ещё?

можно привести правильный пример, как правильно будет выглядеть уравнение для двух частиц в трех измерениях и для трех в двух?

[Munin]

Общая схема такая.
1. Выписываете теормеханическое описание для классической системы, которую хотите описать.
2. Вытаскиваете из него уравнение Гамильтона-Якоби, то есть

$$-\dfrac{\partial S}{\partial t}=H(q,p,t),$$

где на месте функции Гамильтона $H(q,p,t)$ - что-то конкретное, и вам известна размерность пространства координат.
3. Чисто формально заменяете в этом уравнении обозначения на операторы:
$q_i\to q_i$
$p_i\to i\hbar\dfrac{\partial}{\partial q_i}$
$t\to t$
$-\dfrac{\partial S}{\partial t}\to i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}$
и приписываете справа в обе части $\Psi,$ то есть действуете этими операторами на волновую функцию. Этот шаг носит гордое название "квантование". Получается нестационарное уравнение Шрёдингера.
4. Если надо, стационарное уравнение Шрёдингера делается из него стандартно, заменой

$$i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi\;\to\;\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n.$$

Здесь вы можете сами проделать свои примеры, покажите, что получилось, или не получилось, обсудим.

Чисто квантовые сложности бывают такие:
5. На шаге 3, иногда, возникает неопределённость, когда неквантовые величины между собой коммутируют, а операторы, на которые они заменяются, уже не коммутируют. Да, это так, об этом надо быть в курсе, иногда одна классическая система соответствует разным квантовым системам.
6. Когда несколько частиц между собой тождественные (в классике такого понятия нет, там все частицы считаются уникальными), то дополнительно накладывается условие симметричности или антисимметричности волновой функции. На самом уравнении Шрёдингера это не отражается, но накладывается дополнительно на его решения, и лишние решения отбрасываются.
7. Если частицы рассматриваются с учётом спина, то их волновые функции получают несколько компонент. При этом в уравнении Шрёдингера могут появляться новые члены, учитывающие спин. Спин и симметричность взаимосвязаны, то есть если частицы имеют полуцелый спин (фермионы), то они между собой антисимметричны (статистика Ферми), а если они имеют целый спин (бозоны), то они между собой симметричны (статистика Бозе).

[Alex-Yu]

Sergey K в сообщении #612819 писал(а):

Как расписать второй закон Ньютона в той или иной ситуации, я представляю. А как проделать это с уравнением Шредингера? По какому принципу составляются:

1. уравнения для системы из одной частицы, для двух, n частиц? Добавляются новые слагаемые, каждое из которых описывает еще одну частицу?
2. одномерном движении, многомерном? Добавляются новые частные производные?
3. если дана система частиц, то член отвечающий за энергию - это суммарная энергия частиц?
4. в случае не стационарного уравнения так же?
5. что-то ещё?

1. Это довольно интересный вопрос, в котором проявляется существенное отличие квантовой механики от классической. В классической для, скажем, двух частиц мы пишем два уравнения Ньютона. А вот в квантовой механике все совсем не так!!! В квантовой механике надо рассматривать пару частиц как одну частицу в шестимерном пространстве! У двух частиц же всего 6 координат. И уравнение Шредингера при этом получается одно. Но волновая функция будет зависеть от 6, а не от 3 координат.

2. Ответ простой: да.

3. Тоже: да.

4. И тут: да.

[Sergey K]

я очень вовремя задал этот вопрос, сейчас разбираюсь с уравнениями Гамильтона-Якоби.

вот летит две частицы, $U(q,t)=0$.

Цитата:

Выписываете теормеханическое описание для классической системы, которую хотите описать

в данном случае это гамильтониан системы? я с этим термином не сталкивался

[Munin]

Любой вариант. Можете функцию Лагранжа и уравнения Лагранжа. Можете функцию Гамильтона и уравнения Гамильтона. Главное, чтобы у вас было пространство обобщённых координат, и всё необходимое, чтобы в нём искать движение. От этого можно переходить к уравнению Гамильтона-Якоби.

Давайте гамильтониан, если вам так удобней.

Если у вас две частицы и $U(q,t)=0,$ то частицы получаются невзаимодействующие, так?

[Sergey K]

Возвращаемся к теме)

1. под $U(q,t)=0$ я имел ввиду отсутствие всех взаимодействий, в том числе и между частицами. Сначала были сомнения, не правильнее ли будет записать по уравнению для каждой частицы - раз уж они никак не связанны, но потом понял, что измению физический смысл записи. Квадрат пси-функции дает вероятность нахождения частиц, а как и в комбинаторике - вероятность нахождение двух частиц на одном отрезке совсем не то, что вероятность нахождения каждой из частиц на том же отрезке. так?

2. Раз внешних полей и взаимодействия нет, получаем вот это: $H = \frac {\hbar^2} {2m_1} \Delta_1+ \frac {\hbar^2} {2m_2} \Delta_2$

3. Соответственно, в случае кулоновского взаимодействия между частицами: $H = \frac {\hbar^2} {2m_1} \Delta_1+ \frac {\hbar^2} {2m_2} \Delta_2 + \frac {z_1 z_2 e} {r}$ Если одна частица намного тяжелей другой, используем приведенную массу. А если равны?

4. Начинаем подставлять $(\frac {\hbar^2} {2m_1} + \frac {\hbar^2} {2m_2}) \psi (r) = \psi (r) E $ (без взаимодействия все же стационарно?)
$(\frac {\hbar^2} {2m_1} + \frac {\hbar^2} {2m_2} + \frac {z_1 z_2 e} {r} ) \psi (r) = i\hbar \frac {\partial\psi} {\partial t}$ (это с кулоновским взаимодействием)

так, мозг уже не варит, завтра посмотрим ошибки.

[Munin]

Sergey K в сообщении #614502 писал(а):

Сначала были сомнения, не правильнее ли будет записать по уравнению для каждой частицы - раз уж они никак не связанны, но потом понял, что измению физический смысл записи.

Всё правильно, именно изменится физический смысл. Для двухчастичной пси-функции должно быть уравнение

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\left[\dfrac{\hat{\mathbf{p}}_1^2}{2m_1}+\dfrac{\hat{\mathbf{p}}_2^2}{2m_2}\right]\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\Biggl\lmoustache\;\hat{\mathbf{p}}\equiv i\hbar\nabla\;\Biggr\lmoustache=\left[-\hbar^2\dfrac{\Delta_1}{2m_1}-\hbar^2\dfrac{\Delta_2}{2m_2}\right]\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2),$$

так что его решения будут функциями на общем конфигурационном пространстве $(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2).$ Представьте себе плоскость $(x_1,x_2),$ и какие разнообразные функции можно на ней нарисовать. Если бы речь шла о двух уравнениях для каждой частицы, то это было бы

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi_1(\mathbf{r}_1)=\dfrac{\hat{\mathbf{p}}_1^2}{2m_1}\Psi_1(\mathbf{r}_1)=-\hbar^2\dfrac{\Delta_1}{2m_1}\Psi_1(\mathbf{r}_1),$$

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi_2(\mathbf{r}_2)=\dfrac{\hat{\mathbf{p}}_2^2}{2m_2}\Psi_2(\mathbf{r}_2)=-\hbar^2\dfrac{\Delta_2}{2m_2}\Psi_2(\mathbf{r}_2),$$

$$\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=\Psi_1(\mathbf{r}_1)\Psi_2(\mathbf{r}_2).$$

То есть, из тех функций на плоскости, которые вы сейчас представляли, решениями этой системы были бы только те, которые являются произведениями одномерных функций по осям координат. Очевидно, это множество решений беднее!

Те решения, которые не распадаются в произведение волновых функций отдельных частиц, называются зацепленными, сцепленными, запутанными или спутанными состояниями (entangled). Их существование проверяется на опыте, статистически: если вероятность измерения одной частицы зависит от результатов измерения другой частицы, то их общее состояние до измерения было не произведением одночастичных функций, а какой-то другой двухчастичной функцией. Такие состояния можно "приготовить", получая обе частицы в результате какого-то одного квантового процесса. Именно на таких состояниях основаны квантовые вычисления и квантовая связь.

Sergey K в сообщении #614502 писал(а):

Раз внешних полей и взаимодействия нет, получаем вот это

Минусы позабыли.

Sergey K в сообщении #614502 писал(а):

Если одна частица намного тяжелей другой, используем приведенную массу. А если равны?

Не торопитесь. Переход с приведённой массой - это переход от двухчастичной системы к одночастичной. Подумайте, у вас ничего не теряется? (На самом деле, этот переход можно и нужно сделать, но надо понимать его условия.)

Sergey K в сообщении #614502 писал(а):

(без взаимодействия все же стационарно?)

Нет, конечно! Без взаимодействия всё может быть нестационарно!

Пример даже одной частицы, свободной: нестационарное уравнение Шрёдингера

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r})=\dfrac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}\Psi(\mathbf{r})=-\hbar^2\dfrac{\Delta}{2m}\Psi(\mathbf{r}),\qquad(1)$$

а стационарное

$$-\hbar^2\dfrac{\Delta}{2m}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r}).\qquad(2)$$

Решениями (1) будут произвольные бегущие волны и их суперпозиции, а решениями (2) - только стоячие волны. Стоячая волна - это суперпозиция двух бегущих в противоположные стороны волн, то есть решение (2) будет одновременно решением (1), но не наоборот: не любое решение (1) будет решением (2). Кроме того, даже не любая суперпозиция стоячих волн будет решением (2), а только такая, чтобы энергии (= частоты) этих волн все совпадали.

Например, для нестационарного уравнения Шрёдингера можно сделать гауссов волновой пакет

$$\Psi(\mathbf{r},t)=\dfrac{N}{(a+i\hbar t/m)^{3/2}}\,e^{i(\mathbf{k}_0\mathbf{r}-\omega_0t)-\frac{\scriptstyle(\mathbf{r}-\hbar\mathbf{k}_0t/m)^2}{\scriptstyle 2(a+i\hbar t/m)}},$$

и он будет двигаться вперёд, расплываться - короче, испытывать изменения во времени, он будет нестационарен. А решением стационарного уравнения Шрёдингера он уже не будет, и ничего даже близкого нельзя будет изобразить.

Sergey K в сообщении #614502 писал(а):

так, мозг уже не варит, завтра посмотрим ошибки.

Мозгу часто достаточно давать отдых на 15 минут или пару часов.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #612824 писал(а):

где на месте функции Гамильтона $H(q,p,t)$ - что-то конкретное

У меня вопрос: вот есть кинетическая энергия $\dfrac{p^2}{2m}$, она же $pq\cdot\dfrac{p}{2m}\dfrac1q$. Но первому выражению соответствует $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial q^2}$, а второму $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac\partial{\partial q}\, q \,\dfrac\partial{\partial q} \dfrac1q = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[\dfrac1{q^2}-\dfrac1q\,\dfrac\partial{\partial q}+\dfrac{\partial^2}{\partial q^2}\right]$, что явно разные вещи. Как выбрать функцию Гамильтона?

[Munin]

Я об этом говорил:

Munin в сообщении #612824 писал(а):

Чисто квантовые сложности бывают такие:
5. На шаге 3, иногда, возникает неопределённость, когда неквантовые величины между собой коммутируют, а операторы, на которые они заменяются, уже не коммутируют. Да, это так, об этом надо быть в курсе, иногда одна классическая система соответствует разным квантовым системам.

На практическом уровне, просто договариваются, например, считать квантованием классической системы одну из возможных квантовых, скажем, соответствующую выражению именно $\dfrac{p^2}{2m}.$ На глубокомысленно-теоретическом, я, честно говоря, не помню, но получающиеся системы получаются либо в каком-то смысле эквивалентными, либо в каком-то смысле членами одного класса, который можно как-то перебрать.

[Nemiroff]

У, внезапно нашел в тему.
Мессиа, том 1, стр. 77.

[Munin]

Ну, в принципе, да. Но можно и наплевать на симметризацию, потому что ошибка там будет в пределах $\hbar,$ и для реальных систем вряд ли заметна.