Параболическое уравнение в ЧП

[Spesh]

К сожалению, не математик, но необходимо решить параболическое уравнение сводящееся к однородному:
$\frac{\partial u}{\partial t}= D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Со следующими начальными и граничными условиями:
$u(x,0)=0$

$u(\chi(t),t)=u_0$

$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)= 0$

где $\chi(t)$ - заданная дифференцируемая функция

Как решить уравнение, если $\chi(t)$ равно константе разобрался: получил решение двумя способами через разделение переменных и ряд Фурье, и с помощью преобразований Лапласа.
Однако как потупить если $\chi(t)$ не константа - не понимаю. По моему решению получается, что при разделении переменных при подстановке второго условия у меня функция от х начинает зависеть от времени...
Помогите разобраться, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Заменой $v(x,t)=u(x \xi(t),t)-u_0$ получается задача для $0<x<1$ с однородными граничными условиями:

$v_t= \frac{D}{\xi^2(t)}v_{xx}-\frac{\xi'(t)}{\xi^2(t)}v_x$,

$v(x,0)=-u_0$,

$v(1,t)=0$,

$v_x(0,t)= 0$,
Можно выписать решение с помощью функции Грина:

$$ v(x,t)=-u_0\int_0^1G(x,t,y,0)\,dy. $$

Поскольку коэффициенты зависят только от $t$, то функцию $G$, вероятно, можно записать в виде ряда (построить методом отражений из фундаментального решения). Но я не пробовал

[Spesh]

Спасибо. Попробую.
Про функцию грина читал немного, но не понимал как её построить для подвижных границ (до вашей замены).
Не подскажите доступную для моего ограниченого понимания химика книгу по функцию грина?

[V.V.]

Какая конкретно функция $\chi(t)$?

[Spesh]

Vince Diesel в сообщении #617977 писал(а):

Заменой $v(x,t)=u(x \xi(t),t)-u_0$ получается задача для $0<x<1$ с однородными граничными условиями:

$v_t= \frac{D}{\xi^2(t)}v_{xx}-\frac{\xi'(t)}{\xi^2(t)}v_x$,

$v(x,0)=-u_0$,

$v(1,t)=0$,

$v_x(0,t)= 0$,
Можно выписать решение с помощью функции Грина:

$$ v(x,t)=-u_0\int_0^1G(x,t,y,0)\,dy. $$

Поскольку коэффициенты зависят только от $t$, то функцию $G$, вероятно, можно записать в виде ряда (построить методом отражений из фундаментального решения). Но я не пробовал

Подумал - я правильно понимаю, что \xi(t)$ это есть моя $\chi(t)$? Переход к относительным координатам?

V.V. в сообщении #618025 писал(а):

Какая конкретно функция $\chi(t)$?

Мне придется перепробовать несколько, пока точно не определена.
По крайней мере два варианта:
1) $\chi(t)=at$ просто линейная функция, a-константа
2) $\chi(t)=\frac{t(1-at)}{b-t}$ a,b-константы

[Spesh]

Vince Diesel в сообщении #617977 писал(а):

Заменой $v(x,t)=u(x \xi(t),t)-u_0$ получается задача для $0<x<1$ с однородными граничными условиями:

$v_t= \frac{D}{\xi^2(t)}v_{xx}-\frac{\xi'(t)}{\xi^2(t)}v_x$,

У меня после замены в исходном уравнении
$\frac{\partial u}{\partial t}= D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$y=\frac{x}{\chi(t)}$
$v(y,t)=u(x,t)-u_0$
Получается следующее:
$u_t=-\frac{x\chi'(t)}{\chi^2(t)}v_y+v_t=-\frac{y\chi'(t)}{\chi(t)}v_y+v_t$
$u_{xx}=\frac{1}{\chi^2(t)}v_{yy}$
Поэтому уравнение получается таким:
$v_t= \frac{D}{\chi^2(t)}v_{yy}+y\frac{\chi'(t)}{\chi(t)}v_y$,
Я нигде не ошибся?

[Spesh]

Целы день мучаюсь, но не понимаю, чем полученное уравнение лучше оригинального?

[V.V.]

А из физического смысла задачи не следует ли, что надо искать классическое решение?
Получается $\chi(0)=0$, поэтому $u_0=u(\chi(0),0)=u(0,0)=u(x,0)|_{x=0}=0$. Как-то нехорошо!

[Spesh]

Там реально разрыв первого рода в точке $\chi(t)$
Я думаю, что математически грамотно это должно как-то записываться так:
$u(\chi(t)+0,t)=u_0$
Но не берусь утверждать точно - не настолько силен в математике.

Если идти с самого начала, то это задача по конвективной диффузии вещества из объема, где поддерживается постоянная концентрация, в цилиндр с подвижным поршнем. В начальный момент времени поршень находится в точке 0, а потом начинает двигаться с скоростью $\varphi(t)=\frac{d\chi}{dx}$ где $\chi(t)$ это координата поршня. Перед цилиндром концентрация постоянная, внутри ничего ничего нет в начальный момент, сам поршень непроницаем. Отсюда получаются три условия.

Собственно изначально уравнение такое:
$\frac{\partial c}{\partial t}= D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}-\varphi(t)\frac{\partial c}{\partial x}$

И следующие условия:
$c(x,0)=0$
$c(0,t)=c_0$ Не знаю как записать, но здесь разрыв в точке x=0
$\frac{\partial u}{\partial x}(\chi(t),t)= 0$

Может я где напутал с логикой?
Это уравнение заменой
$y=\chi(t)-x, u(y,t)=c(x,t)$
Сводится к тому уравнению, что в первом посте.

Еще мне не понятно, верно ли утверждение, что если мы сведем первое уравнение на $c(x,t)$ к однородным граничным условиям, например так: $v(x,t)=c_0-u(x,t)$, то решение можно будет представить в виде.
$v(x,t)=c_0\int_{0}^{\chi(t)} G(x,t,y,0) dy$
Где верхний предел это функция $\chi(t)$

Может есть какие идеи? Мучаюсь уже 2 недели...

[sup]

Если я правильно понял, то $u_0$ константа, и тогда формально подходит решение $u \equiv u_0$.
Видимо в постановке задачи что-то не так.

[Spesh]

sup в сообщении #621394 писал(а):

Если я правильно понял, то $u_0$ константа, и тогда формально подходит решение $u \equiv u_0$.
Видимо в постановке задачи что-то не так.

$u_0$ это действительно константа

Но я не понял, вы про первое уравнение ?:

Spesh в сообщении #617893 писал(а):

$\frac{\partial u}{\partial t}= D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$u(x,0)=0$
$u(\chi(t),t)=u_0$
$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)= 0$

Ведь любая константа при подстановке дает 0=0? А как же $u(x,0)=0$?

-- 20.09.2012, 15:19 --

Я понял, при постоянстве $u(\chi(t),t)=u_0$ решение действительно тривиальное по u: $u(x,t)=u_0T(t)$
Так?

[sup]

А у Вас в точке $x=0,t=0$ возникают противоречивые условия. Вы и сами это отметили:

Цитата:

Там реально разрыв первого рода

Скорее всего ничего другого там и не получится. Такие разрывы (начальных и краевых условий) можно интерпретировать как моментальный разрыв перегородки. Уже через сколь угодно малый интервал времени решение становится непрерывным. Возможно это не соответствует физическому смыслу Вашей задачи. Поэтому я и говорил о том, что может как-то изменить мат. постановку.

-- Чт сен 20, 2012 18:29:43 --

Spesh в сообщении #621403 писал(а):

Я понял, при постоянстве $u(\chi(t),t)=u_0$ решение действительно тривиальное по u: $u(x,t)=u_0T(t)$
Так?

Да нет ... просто $u(x,t) = u_0$

[Spesh]

sup в сообщении #621407 писал(а):

А у Вас в точке $x=0,t=0$ возникают противоречивые условия. Вы и сами это отметили:

Да нет ... просто $u(x,t) = u_0$

Понятно...
На самом деле разумно, что (с не математической точки зрения) если идет засасывание из объема с постоянной концентрацией u_0$, то и в цилиндре будет такая же концентрация - диффузии нет фактически.

Как бы тогда сформулировать граничное условие в 0, чтобы там была не константа?

[sup]

Может так. Вместо условия $u_x(0,t)=0$ поставить просто $u(0,t)=0$. Это соответствует тому, что на самом поршне концентрация всегда нулевая. Ну в самом деле. Как мне представляется, где-то в районе поршня должно происходить подтекание жидкости. Иначе Вы просто перемещаете один и тот же раствор с места на место. Если допустить, что прямо из поршня подтекает жидкость с концентрацией 0, то как раз и получится то самое условие. Другое дело, как решать такую задачу. В начальный момент у Вас область вырождается в точку. Поэтому та замена, которую Вам предлагали, приведет к вырожденному уравнению. Ну, или что то же самое, коэффициенты будут неограниченными. Может стоит ввести в начале маленький, но все же ненулевой объемчик. Ну, например, с концентрацией линейно убывающей к 0.