limit

[Keter]

Я извиняюсь за свою назойливость, но хочется разобраться. Уже была эта тема, но данная дубляжем не является. Написал заново для того, чтобы было явно видно: на чём все же остановились в доказательстве.

$$a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^{\alpha}}, \quad \text{доказать, что} \quad \lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( \dfrac{1}{a_{n+1}^{\alpha}}-\dfrac{1}{a_n^{\alpha}} \bigg)} \rightarrow \alpha, \quad \text{если} \quad \alpha \in (0; 1)$$

Заменим $b_n=\dfrac{1}{a_n^{\alpha}}$:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\bigg( b_{n+1}-b_n \bigg)} = \lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( \frac{b_n+1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)}.$$

Оценив снизу разность $b_{n+1}-b_n$ имеем:

$$b_{n+1}-b_n>2^{\alpha}-1.$$

Тогда $b_n \rightarrow \infty$. Это правильно? Как дальше оценивать предел:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{b_n \bigg( \Big( 1+\frac{1}{b_n} \Big)^{\alpha}-1 \bigg)} ?$$

[Slip]

а Вы замените $c_n=\frac1{b_n}$. Может, так виднее будет?

[Keter]

Slip, просто я не имею опыта и знаний для этой задачи. Поэтому прошу объяснить, как правильно вычислить этот предел. Я заменил, но мне все равно не понятно, почему

$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\dfrac{1}{c_n} \bigg( (1+c_n)^{\alpha} -1 \bigg)} = \alpha,$$

при $c_n \rightarrow 0$ ?

[Slip]

разложите $(1+x)^\alpha$ в ряд Тейлора. или по Лопиталю.

[Keter]

Slip в сообщении #617760 писал(а):

разложите $(1+x)^\alpha$ в ряд Тейлора. или по Лопиталю.

То есть мне нужно составить ряд Тейлора для функции $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ ? Какой у него функционал ?

[Slip]

ну разложите до $o(x)$, подставьте в предел и смотрите на это до просветления;)

[bot]

Второй замечательный:

$$\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac1x}=e$$

Логарифмируя по основанию $e$, получим следствие

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$$

Заменой $t=\ln(1+x) \Leftrightarrow x=e^t-1$ получаем следствие из следствия:

$$\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{e^t-1}{t}=1$$

Теперь все вытекает из тождества

$$\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\dfrac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)}\cdot\dfrac{\ln(1+x)}{x}\cdot\alpha$$

[Keter]

bot в сообщении #617824 писал(а):

$$\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{e^t-1}{t}=1$$

Как это доказать? Ну я понимаю, почему оно равно 1, но как доказать не знаю.

А так всё понятно. Спасибо большое. Наконец то разобрался с этим пределом и без ряда Тейлора.

[Xaositect]

Keter в сообщении #617907 писал(а):

Как это строго доказать? Правило Лопиталя?

Это зависит от того, как у Вас вводилась функция $e^x$.

[Keter]

Xaositect, например?

[Xaositect]

Keter в сообщении #617915 писал(а):

Xaositect, например?

Например, обычно делают так: вводят $e^x \mathop{=}\limits^{def} \lim\limits_{n\to\infty} (1 + \frac{x}{n})^n, из этого определения доказывают замечательный предел, а потом с помощью замечательного предела получают $(e^x)' = e^x$. В этом случае доказывать по Лопиталю неправильно, потому что производную экспоненты мы вывести не можем.
Но вообще говоря все можно делать наоборот: ввести $e^x$ как решение ДУ $f' = f;\ f(0) = 1$ и тогда предел доказывается по Лопиталю.

[Keter]

Xaositect, мне немного сложновато понять о чем Вы точно говорите. Причина, по которой я так долго не мог решить задачу, заключается в том, что я не знаю теорем из этой области, я пытаюсь обрести кусочные знания, которых достаточно для решения той или иной задачи, потому что мне интересно, а так я пока что ученик 11 класса.
В общих чертах я понимаю о чем Вы говорите, но все же далек от размышлений в правильную сторону. Если направите, поясните, буду благодарен.

[Xaositect]

А, ну тогда я могу подробнее написать план для понимания, что такое $e$. Это нетривиальный вопрос на самом деле. Вот с $\pi$ геометрически все более-менее понятно --- все окружности подобны, коэффициент пропорциональности между диаметром и длиной (хотя тут надо понимать, что такое длина окружности).

Исторически, $e$ появилось в связи с логарифмами. И у Непера была некая механическая конструкция, которая эти логарифмы определяла. Я конкретно эту конструкцию писать не буду, напишу что-то похожее.
Рассмотрим координатный луч. Начало луча имеет координату $0$ и дальше идут вправо координаты, скажем, в метрах.
Пусть на этом луче есть объект на расстоянии $1$ метр от начала и есть некий двигатель, который объект двигает, причем не абы как, а так, чтобы скорость в м/с была равна координате в метрах. Натуральным логарифмом некого числа $x$ назовем время $t$, за которое точка доедет от отметки $1$ метр до отметки $x$ метров. Естественно, мы предполагаем, что $x\geq 1$. Вот что-то похожее было у Непера.
Чем эти логарифмы так хороши? А тем, что они превращают умножение в сложение: если мы рассмотрим два числа $x_1$ и $x_2$, то $\ln (x_1 x_2) = \ln x_1 + \ln x_2$. Докажем: пусть за время $t_1$ точка доезжает от $1$ до $x_1$, за время $t_2$ --- до $x_2$. А теперь пусть прошло сначала время $t_1$, мы доехали до $x_1$, а потом мы возьмем и поменяем масштаб на координатной оси. Теперь у нас $1$ единица длины - это $x_1$ метров. Будем эту единицу называть "один икс". Как же наша точка двигается в новом масштабе? а точно так же: скорость ее в икс/с равна расстоянию от начала в иксах. То есть от такого уменьшения масштаба ничего не меняется и точка доедет от отметки $1$ икс до отметки $x_2$ иксов за время $t_2$. $x_2$ иксов --- это $x_1x_2$ метров, то есть от $1$ до $x_1x_2$ мы доедем за $t_1 + t_2$.
А теперь что же такое $e$. $e$ --- это такое число, что $\ln e = 1$, то есть куда мы доезжаем за секунду. Как же нам это число найти? Для этого рассмотрим точку, очень близкую к $1$, например, $1 + \frac{1}{n}$. Так как она очень близкая, то скорость на участке от $1$ до $1 + \frac{1}{n}$ примерно равна скорости в начале, то есть $1$ м/с. И время, за которое точка доезжает до $1 + \frac{1}{n}$, примерно равно $\frac{1}{n}$: $\ln (1 + \frac{1}{n})\approx \frac{1}{n}$. То есть некоторым приближением к $e$ может служить величина $(1 + \frac{1}{n})^n$. Теперь надо доказать, что предел при $n\to\infty$ существует и логарифм от него действительно равен $1$. И тогда $\ln e^x = x$.
Существование предела можно посмотреть в учебнике, например, в Фихтенгольце. Последовательность возрастает и ограничена сверху. А насчет логарифма $e$ можно сделать следующее: $\ln (1 + \frac{1}{n})$ на самом деле чуть меньше, чем $\frac{1}{n}$, потому что скорость точки больше $1$ на отрезке, и больше $\frac{1}{n(1 + \frac{1}{n})} = \frac{1}{n + 1}$, потому что скорость меньше $1 + \frac{1}{n}$. Тогда $\frac{n}{n + 1} < \ln (1 + \frac{1}{n})^n < 1$ и при стремлении $n\to \infty$ $\ln e = 1$. Тут я воспользовался непрерывностью логарифма, при нашем механическом определении она интуитивно очевидна, а строго Вам ее когда-нибудь докажут.
Ну и дальше понятно, что $\ln e^n = n$, $\ln e^{\frac{p}{q}} = \frac{p}{q}$ и значит, $\ln x$ --- это функция, обратная к степенной функции $e^t$.

[Keter]

Xaositect, спасибо. Свойства логарифмов знаю. Теперь Вы объяснили про число $e$.
Но как тогда трактовать Ваши слова?

Xaositect в сообщении #617909 писал(а):

Это зависит от того, как у Вас вводилась функция .

А как она вводилась. По тем же законам, что Вы написали.

$x \to 0$

$\ln(1+x)=t$

$t \to 0$

$1+x=e^{\ln(1+x)}$

$x=e^t-1$

Хотя сейчас, после Ваших объяснений, мне кажется предел очевидным $\lim_{t \to 0}{\dfrac{e^t-1}{t}}=1$.

$t=e^t-1; \quad t+1=e^{\ln(1+x)}; \quad t+1=x+1; \quad x, t \to 0$.

[Xaositect]

Keter в сообщении #617985 писал(а):

Но как тогда трактовать Ваши слова?

Xaositect в сообщении #617909 писал(а):

Это зависит от того, как у Вас вводилась функция .

А как она вводилась. По тем же законам, что Вы написали.

В том изложении, что я написал, $e^x$ вводится как обратная функция к $\ln x$. Обозначение $e^x$ оправдано тем, что для рационального $x$ она совпадает с обычной степенью.

Цитата:

Хотя сейчас, после Ваших объяснений, мне кажется предел очевидным $\lim_{t \to 0}{\dfrac{e^t-1}{t}}=1$.

$t=e^t-1; \quad t+1=e^{\ln(1+x)}; \quad t+1=x+1; \quad x, t \to 0$.

Неа, то, что Вы написали никаким образом не тянет на обоснование. Обозначить $x + 1= e^t$ полезно. А дальше нужно применить то, что я упоминал: $\frac{x}{1+x} < \ln(1 + x) < x$. При стремлении $x\to 0$ $\frac{\ln(1+x)}{x}\to 1$, т.е. $\frac{t}{e^t - 1} \to 1$ при $t\to 0$