Вопросы по теории чисел

[xmaister]

Сегодня прочитали первую лекцию по теории чисел, но у меня осталось несколько вопросов:
1. Теорема Минковского-Хассе говорит следующее:
Пусть $Q(x_1,\ldots ,x_n)\in\mathbb{Z}[x_1,\ldots ,x_n]$- квадратичная форма. Тогда $Q(x_1,\ldots ,x_n)=0$ разрешимо в $\mathbb{Q}$, тогда и только тогда, когда она разрешима $\mathbb{R}$ и $\forall m\forall p\in\mathbb{P} Q(x_1\ldots x_n)\equiv 0\pmod{p^m}$- разрешимо. При этом ничего не ясно, о том как эти решения (в случае разрешимости) находить. При этом было сказано, что разрешимость сравнения $\forall m\forall p\in\mathbb{P}\ Q(x_1\ldots x_n)\equiv 0\pmod{p^m}$- эквивалентна разрешимости уравнения $Q(x_1,\ldots ,x_n)=0$ в $p$-адических числах. Хотелось бы выяснить, как это доказывать? $\mathbb{Q}_p$ определили, как пополнения относительно нормы $\|\cdot\|_p$, такой что $\left\|\frac{a}{b}\right\|_p=p^{\mathrm{ord}_pb-\mathrm{ord}_pa}$, где $\mathrm{ord}_pa$- максимальная степень $p$, такая что $p^{\mathrm{ord}_pa}|a$. Почему, если во всяком поле есть норма, то его можно пополнить? Пополнение в смысле метрики, порожденной нормой? Как определятся операции поля в пополнении? Целые $p$-адические числа определили как $\mathbb{Z}_p=\underleftarrow{\lim\limits_{m}}\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}$($m$ должны быть под стрелкой, как правльно записать не знаю) - как эта запись должна пониматься?
2. Следствие из теоремы Минковского-Хассе: Всякое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов. Как это вывести из теоремы Минковского-Хассе?

[nnosipov]

См. Боревич&Шафаревич "Теория чисел", глава 1 (кроме 2-го параграфа). Такое ощущение, что на этой лекции доказательств быть не могло в принципе. Или всё же что-нибудь было строго (и в то же время понятно) доказано?

[xmaister]

nnosipov в сообщении #617825 писал(а):

См. Боревич&Шафаревич "Теория чисел", глава 1 (кроме 2-го параграфа).

Спасибо.

nnosipov в сообщении #617825 писал(а):

Или всё же что-нибудь было строго (и в то же время понятно) доказано?

Из этого ничего доказано не было, но (лично мне) как-то стрёмно, когда я пользуюсь утверждениями, доказательства которых не знаю. Был доказана не разрешимость уравнения $x^l+y^l=z^l$, где $l\not |xyz$, $\xi ^l=1$- примитивный корень и в $\mathbb{Z}[\xi]$ имеется однозначное разложение на простые. Но я пока детально не могу разобрать это доказательство...

[nnosipov]

xmaister в сообщении #617831 писал(а):

Был доказана не разрешимость уравнения $x^l+y^l=z^l$, где $l\not |xyz$, $\xi ^l=1$- примитивный корень и в $\mathbb{Z}[\xi]$ имеется однозначное разложение на простые. Но я пока детально не могу разобрать это доказательство...

Это в Б&Ш тоже есть. Написано довольно понятно.

[xmaister]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #617833 писал(а):

Это в Б&Ш тоже есть. Написано довольно понятно.

Нашёл, 1в1 как на лекции доказывали. Ещё раз, спасибо!