Разложение p-группы в полупрямое произведение.

[Marvin]

Условие: "Доказать что неабелева группа из элементов (p-простое, n>2), обладающая циклической подгруппой порядка [p^(n-1), изоморфна полупрямому произведению <a> на <b>, где <b> нормальная подгруппа, а порядки элементов a и b: p и p^(n-1) соответственно, причем a*b*a^(-1)=b^(1+p^(n-2))"
То, что подгруппа <b> нормальная, ясно из того, что она имеет наименьший индекс. А дальше надо найти элемент порядка p т.ч. он не является степенью b. Если такого нет, то в группе всего одна подгруппа порядка p. Есть предположение, что тогда группа циклическая, но как это показать, у меня придумать не выходит. Посоветуйте, если кто знает.

[RIP]

В теории групп я не силён, но раз подгруппа $\langle b\rangle$ нормальна, разве не логично рассмотреть соответствующую фактор-группу?..

[Marvin]

Согласен - черезвычайно логично... Вот, сделав это, и надо отыскать элемент порядка p вне группы <b>.... Если его нет, то подгруппа порядка p только одна: c=b^(p^(n-2)), 2c, .... , (p-1)*c и далее по тексту. В общем, не могу отыскать <a>...

[RIP]

Берём любой элемент $a_1\notin\langle b\rangle$. Тогда $a_1^p=b^s$. Заменив его, если надо, на $a_2=a_1^k$, можно добиться того, чтобы $a_2ba_2^{-1}=b^{1+p^{n-2}}$. Искомое $a$ можно искать в виде $a=a_2b^t$. Надо добиться того, что $a^p=e$. Если я нигде не наврал в выкладках, это всё можно проделать.

[Marvin]

Можно. !!!Спасибо!!! Я совсем в другом направлении искал ответ..