Теорема о примарном разложении

[Unconnected]

Готовлюсь по опечаточному конспекту, прошу прокомментировать некоторые моменты
$R$ - евклидово кольцо, $\pi$ - мн-во всех идеалов $R$, $_RM$ периодический $\Rightarrow _RM \simeq \bigoplus_{p \in \pi} M_p (M_p:=\begin{Bmatrix}x \in M| \exists n \in N p^nx=0\end{Bmatrix}$

Пусть $x \in _RM, I:=(0:x)=<a>, a \in R$ //аннулятор икса
Пусть $a=\prod_{i=1}^{t}p_i^{\alpha_i}$ (каноническое разложение)
(тут понятный кусок док-ва)
$Rx \simeq R/I$ = (равно или изоморфно?) $\bigoplus_{i=1} ^t R/p_i^{\alpha_i} \subset \sum_{i=1}^{t}M_p_i$ //каак? Во-первых, что это за суммирование такое, а во-вторых, что это за включение(последнее), при условии что слева прямая сумма фактор-колец $R$, а справа элементы модуля!?

[lofar]

1. Думаю, что $\pi$ на самом деле — множество простых элементов $R$.

2. $R/I = \bigoplus_{i=1} ^t R/p_i^{\alpha_i}$ — это изоморфизм R-модулей (колец тоже, но это не важно в данном случае). $\bigoplus$ — здесь это внешняя прямая сумма модулей, т. е. декартово произведение с покомпонентными операциями (вообще правильнее писать $\Pi$ для внешней суммы, а $\bigoplus$ лучше использовать для внутренней суммы = прямой суммы подмодулей).

3. Насколько я понял, цель — доказать, что $x\in\bigoplus_{p \in \pi} M_p$. Сначала доказывается, что $Rx\cong \bigoplus_{i=1} ^t R/p_i^{\alpha_i}$ (изоморфизм R-модулей). Отсюда следует, что $x = x_1 + \ldots + x_t$, причем $p_i^{\alpha_i} x_i = 0$. А это означает, что $x\in \sum_{i=1}^{t}M_{p_i}$.