Компактность множества

[TRUEMATEMATIK]

доказать что множество $M$ ($p \in Q$ (множество рациональных чисел), $2<p^2<3$) замкнуто и ограничено, но не компактно в $(Q, \rho )$ где метрика $ \rho (p,q) = |p-q| $

ограниченность мы показали, просьба помочь с замкнутостью и не компактностью...
множество замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки, но как это показать...

[armez]

А замкнуто ли оно? Например, если $\left \{p_n \right \} \limits_{n=1}^{\infty}$ - последовательность рациональных приближений любого иррационального числа из интервала $(\sqrt{2},\sqrt{3})$, то она будет фундаментальной, но не будет сходящейся. Не так ли?

[ewert]

armez в сообщении #617415 писал(а):

А замкнуто ли оно? Например, если $\left \{p_n \right \} \limits_{n=1}^{\infty}$ - последовательность рациональных приближений любого иррационального числа из интервала $(\sqrt{2},\sqrt{3})$, то она будет фундаментальной, но не будет сходящейся. Не так ли?

Так. И это опровергает полноту, но не имеет никакого отношения к замкнутости.

TRUEMATEMATIK в сообщении #617404 писал(а):

просьба помочь с замкнутостью и не компактностью...

Замкнутость почти тривиальна: какие рациональные числа могли бы быть предельными для этого множества точками?... (учтите, что иррациональные точки предельными быть не могут, т.к. их попросту не существует).

Что касается компактности -- приведите её формальное определение, от этого зависит направление, в котором надо двигаться.

[TRUEMATEMATIK]

Множество М компактно, если для любой последовательности из этого множества существует подпоследовательность, предел которой принадлежит данному множеству M...
На сколько я понимаю, мы должны пойти от противного, то есть придумать такую последовательность, чтобы из нее нельзя было выделить подпоследовательность, предел которой принадлежит данному в задаче множеству...

[ewert]

TRUEMATEMATIK в сообщении #617449 писал(а):

то есть придумать такую последовательность, чтобы из нее нельзя было выделить подпоследовательность, предел которой принадлежит данному в задаче множеству...

А вот для этого как раз следуйте рекомендации armez.

[TRUEMATEMATIK]

Замкнутость почти тривиальна: какие рациональные числа могли бы быть предельными для этого множества точками?...

это рациональные числа которые приближаются к границам отрезка, например 1.4 и 1.7

[ewert]

TRUEMATEMATIK в сообщении #617465 писал(а):

, например 1.4 и 1.7

Второе -- да (в частности), а первое -- нет (в частности). Угадайте, почему.

TRUEMATEMATIK в сообщении #617465 писал(а):

это рациональные числа которые приближаются к границам отрезка

А это бессмысленная формулировка: конкретное число в принципе не может ни к чему приближаться, оно сидит себе на месте.

[TRUEMATEMATIK]

ну первое нет, поскольку оно не входит в наш интервал, это я для примера назвал...

[Профессор Снэйп]

TRUEMATEMATIK в сообщении #617404 писал(а):

множество замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки, но как это показать...

Чёт я глобально не понимаю...

Если мы в топологическом пространстве выделяеи подпространство и рассматриваем его как самостояельное топологическое пространство с индуцируeмой топологией, то "в себе" оно, конечно же, будет замкнуто и открыто. Как и всякое любое другое топологическое пространство!

Или интересует вопрос, будет ли замкнуто $\mathbb{Q} \cap (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ как подмножество $\mathbb{R}$. На этот вопрос ответ, конечно же, отрицательный: ewert уже привёл более чем убедительные аргументы!

Насчёт компактности: это свойство, сохраняющееся при переходе от подмножества к пространству, состоящему из этого подмножества с индуцируемой из "большого множества" топологией. Значит...

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #617593 писал(а):

будет ли замкнуто $\mathbb{Q} \cap (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ как подмножество $\mathbb{R}$. На этот вопрос ответ, конечно же, отрицательный: ewert уже привёл более чем убедительные аргументы!

Это был ни разу не я. Я как раз приводил аргументы типа противоположного толка, и не к ТС обращённые: что в рамках исходной задачи этот вопрос празден.

Что касается индуцированности топологий -- здесь эти слова опять же шибко уж учёны. Здесь всё гораздо грубее: есть формальное определение компактности (секвенциальной в данном случае), и надо привести вполне конкретный контрпример (опираясь, естественно, на уже откровенно известное определение вещественного числа, аксиому/теорему полноты в том или ином виде и на корень как стандартнейший пример невещественности).