Неизмеримые функции

[Gandalf]

AD в сообщении #293185 писал(а):

..."пример Витали": там берётся на $[0,1]$ (который понимается как окружность единичной длины) отношение $x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Q}$, и из каждого класса эквивалентности выбирается по одному элементу; множество выбранных элементов неизмеримо вместе со своей характеристической функцией, потому что счетным числом "прокручиваний" этого множества по отрезку $[0,1]$ можно залить весь отрезок, а прокрученные множества не пересекаются и имеют одинаковую меру...

Насколько я понимаю, количество классов эквивалентности, на которые разбивается отрезок $[0,1]$, несчетно. Сооответственно, множество выбранных из этих классов элементов также несчетно. С другой стороны, процедура выбора, опять же, насколько я понимаю, счетна по определению. Тогда каким образом счетная процедура дает несчетное множество? Помогите разобраться. Или процедура выбора тоже несчетна?

[ewert]

Gandalf в сообщении #616512 писал(а):

С другой стороны, процедура выбора, опять же, насколько я понимаю, счетна по определению.

Нет. При построении множества Витали используется аксиома выбора, которая утверждает возможность одномоментного выбора по одному элементу из семейства множеств произвольной мощности. Эта аксиома не зависит от прочих аксиом теории множеств, а что она при этом патологически неконструктивна -- что уж тут поделаешь.

[Gandalf]

ewert в сообщении #617040 писал(а):

Нет. При построении множества Витали используется аксиома выбора, которая утверждает возможность одномоментного выбора по одному элементу из семейства множеств произвольной мощности...

Вот поэтому я и говорю - счетна по определению. Последовательный одномоментный выбор по одному элементу из семейства множеств мощности континуума (подчеркиваю: мощностью континуума обладает само семейство) - это то же самое, что и пересчет элементов (множеств) этого семейства.

[ewert]

Gandalf в сообщении #617257 писал(а):

Вот поэтому я и говорю - счетна по определению.

Нет. Поскольку аксиома выбора ниоткуда не следует и ничему не противоречит -- её можно с равным успехом как принимать, так и отвергать. Произнося слова "счётна по определению", Вы тем самым эту гипотезу отвергаете, ровно к этому Ваше определение и сводится. Но при этом Вы и лишаетесь определённых возможностей. Конкретно насчёт существования неизмеримых множеств: всё,что при таком подходе Вы можете сказать -- это "не знаю", и ничего более. Поскольку принятие аксиомы выбора ведёт к существованию таких множеств, и поскольку формально опровергнуть ту аксиому Вы не можете -- значит, не сможете и доказать измеримости всех множеств. Доказать же, напротив, существование неизмеримых множеств, не прибегая при этом к аксиоме выбора -- по-видимому, также невозможно.

[Gandalf]

ewert в сообщении #617293 писал(а):

Произнося слова "счётна по определению", Вы тем самым эту гипотезу отвергаете, ровно к этому Ваше определение и сводится...

Мое определение сводится к тому, что формулировка аксиомы выбора противоречит своим следствиям. В частности, из нее следует, что всякое множество можно полностью упорядочить. В том числе несчетное. Но сформулирована она так, что процедура выбора эквивалентна процедуре счета. Я не отвергаю аксиому выбора, я всего лишь обращаю внимание на противоречие в ее формулировке. А неизмеримые множества могут существовать в силу счетности меры Лебега. Впрочем, настаивать не буду, поскольку не разбирал подробно теорию меры.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #617293 писал(а):

Конкретно насчёт существования неизмеримых множеств: всё,что при таком подходе Вы можете сказать -- это "не знаю", и ничего более.

А что, без аксиомы выбора существование неизмеримых множеств невозможно доказать?

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #618279 писал(а):

А что, без аксиомы выбора существование неизмеримых множеств невозможно доказать?

Есть модели теории множеств (Цермело—Френкеля), в которых все подмножества $\mathbb R$ измеримы.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #618279 писал(а):

А что, без аксиомы выбора существование неизмеримых множеств невозможно доказать?

Не знаю. Но, насколько слышал, нет до сих пор ни одного примера неизмеримости, который не основывался бы на привлечении аксиомы выбора или ещё чего-то вдобавок к базовом набору аксиом, хотя прошло уже чёрт-те сколько лет. Что косвенно свидетельствует о как бы эквивалентности типа того существования той аксиоме, а как фактически -- не в курсе.

-- Вс сен 16, 2012 21:09:12 --

Gandalf в сообщении #617703 писал(а):

Но сформулирована она так, что процедура выбора эквивалентна процедуре счета.

Нет. В её формулировке нет ни одного слова, которое бы хоть косвенно напоминало слово "счёт".

Gandalf в сообщении #617703 писал(а):

А неизмеримые множества могут существовать в силу счетности меры Лебега.

Ну это вообще какой-то глюк: мера не может быть ни счётной, ни несчётной попросту потому, что к ней это понятие не применимо. Ибо она -- попросту не есть множество.

[Gandalf]

ewert в сообщении #619747 писал(а):

Нет. В её формулировке нет ни одного слова, которое бы хоть косвенно напоминало слово "счёт".

Слова нет, а смысл есть. Я же говорил:

Цитата:

Последовательный одномоментный выбор по одному элементу из семейства множеств мощности континуума... - это то же самое, что и пересчет элементов (множеств) этого семейства.

ewert в сообщении #619747 писал(а):

Ну это вообще какой-то глюк: мера не может быть ни счётной, ни несчётной попросту потому, что к ней это понятие не применимо. Ибо она -- попросту не есть множество.

Мера аддитивна, а в этом, по моему мнению, есть связь с процедурой счета. Но я уже сказал, что не настаиваю на этом утверждении.

[alien308]

ewert в сообщении #617040 писал(а):

Нет. При построении множества Витали используется аксиома выбора, которая утверждает возможность одномоментного выбора по одному элементу из семейства множеств произвольной мощности.

Семейство множеств это множество или может быть что то другое, например класс?

[ewert]

alien308 в сообщении #663048 писал(а):

Семейство множеств это множество или может быть что то другое, например класс?

"Семейство", "множество", "класс", "совокупность" и т.д. -- это, в принципе, синонимы, и выбираются они в основном по вкусу, чтобы придать формулировкам хоть какую-то вразумительность.

[alien308]

Я хочу спросить в аксиоме выбора совокупность множеств является множеством, т.е. удолетворяет требованиям налагаемым на множество или может быть более общей, обычно называемой классом. Или в современном понимании нужны только множества?