Постройте сплайн

[_Ivana]

Это не олимпиадная задача, я сам однажды её придумал и решил, может она покажется вам интересной :)
Имеется бесконечная сетка $(.... x_{-n}, .... x_0, x_1, .... x_{n}, ....)$ и соответствующие этой сетке отсчеты $(.... y_{-n}, .... y_0, y_1, .... y_{n}, ....)$. Постройте локальный интерполяционный полиномиальный сплайн пятой степени, проходящий через все точки $x_i, y_i$ и имеющий непрерывные производные: все от нулевой до четвертой включительно.

[TOTAL]

_Ivana в сообщении #616212 писал(а):

Постройте локальный интерполяционный полиномиальный сплайн пятой степени, проходящий через все точки $x_i, y_i$ и имеющий непрерывные производные: все от нулевой до четвертой включительно.

На $[x_0, x_1]$ строим произвольный полином пятой степени, затем последовательно достраиваем (уже однозначно) справа и слева другие полиномы пятой степени.

[_Ivana]

TOTAL, уже после того как я сформулировал и запостил сюда условие задачи, я понял что можно предложить и такой вариант как предлагаете вы. Да, он формально соответствует всем предъявляемым критериям, кроме одного тонкого момента - этот сплайн не будет "хорошим" в плане своей интерполяционности - то есть производные (все, от первой до пятой) в узлах сетки будут "скакать" как попало и не будут аппроксимировать производные интерполируемой функции. И ошибка аппроксимации такого сплайна будет очень велика.
В качестве решения задачи предполагается другой вариант, свободный от этого недостатка.

[ИСН]

В зависимости от того, как понимать слова "интерполируемая функция", у неё либо нет производных, либо - при одних и тех же значениях функции! - производные могут быть какие угодно, и как их лучше аппроксимировать, человеку знать невозможно. Вы говорите о какой-то другой мере качества сплайна, но о какой именно?

[_Ivana]

Простите за возможные неточности и ошибки в формулировках. Попробую исправиться.
Пусть имеется некоторая 5 раз непрерывно дифференцируемая функция на всей действительной оси. Если нужны дополнительные условия на норму этой функции и её производных - пусть они также ограничены. От искомого сплайна требуется, чтобы при уменьшении сетки он сходился к этой функции, а его производные (с первой по пятую) в свою очередь сходились к производным того же порядка исходной функции.
UPD условие непрерывности сплайна и четырех его первых производных конечно остается в силе.

[TOTAL]

_Ivana, чтобы понять, что требуется сделать, не могли бы Вы привести решение аналогичной задачи для сплайна второго порядка?

[_Ivana]

TOTALя могу привести решение аналогичной задачи для сплайна второго порядка. Но тогда это будет подсказкой, а фактически и самим методом, который можно экстраполировать на любой порядок сплайна. Пятый я в условии задачи предложил как некий компромисс. Собственно, сама информация, что метод применим для сплайнов любого порядка - уже достаточно большая подсказка. Но если вам интересен ответ а не попытаться решить - я могу сразу написать ответ.
Что скажут остальные интересующиеся этой задачкой? (если они конечно есть :) ) Писать ответ или есть ещё те, кому интересно подумать? Или может уточнить ещё в чем-то условие?

[TOTAL]

_Ivana в сообщении #617868 писал(а):

Писать ответ или есть ещё те, кому интересно подумать? Или может уточнить ещё в чем-то условие?

Что подразумеваете под локальным сплайном? Означает ли это, что полином на каждом отрезке зависит лишь от значений интерполируемой функции в конечном числе узлов? Если да, то напишите ответ про сплайн второго порядка.

[_Ivana]

Цитата:

Что подразумеваете под локальным сплайном? Означает ли это, что полином на каждом отрезке зависит лишь от значений интерполируемой функции в конечном числе узлов?

Да.

Цитата:

Если да, то напишите ответ про сплайн второго порядка.

Что ж, извольте. Берем любой интервал исходной сетки, получаем оценку первых производных в его краях (неважно как, но пусть по Лагранжу 4 порядка), берем любую точку $x_a$ внутри этого интервала и строим сплайн второго порядка из двух парабол по следующим условиям: в краях интервала значения функции совпадают с со значением точек, первые производные совпадают с их посчитанными оценками по нескольким точкам, значения этих парабол и их первых производных в точке $x_a$ совпадают. Итого: 2 параболы, 6 неизвестных коэффициентов, по 2 уравнения в краях интервала и 2 в точке $x_a$. Экстраполяция метода на сплайн любого порядка очевидна.

[TOTAL]

_Ivana в сообщении #618428 писал(а):

Экстраполяция метода на сплайн любого порядка очевидна.

Также очевидно, что метод не решает задачу даже для сплайна второго порядка, т.к. на каждом интервале интерполирующая функция не является полиномом второго порядка. Для сплайнов более высокого порядка дополнительно возникнут проблемы с достижением требуемой гладкости.

[_Ivana]

Цитата:

Также очевидно, что метод не решает задачу даже для сплайна второго порядка, т.к. на каждом интервале интерполирующая функция не является полиномом второго порядка.

Это неверно - на каждом интервале у нас честная парабола, в краях они сшиты по нулевой и первой производной, функция проходит через заданные точки и аппроксимирует нулевую, первую и вторую производные исходной функции. А вот то, что эти интервалы не совпадают с исходной сеткой - не требуется ни по условию задачи ни по определению сплайна.

Цитата:

Для сплайнов более высокого порядка дополнительно возникнут проблемы с достижением требуемой гладкости.

У меня никаких проблем не возникает ни теоретически ни практически. Расскажите ваши опасения, будем их опровергать.