Напишу подробно как рассуждал. Все ли четко?
Положим, что

и

. Пусть

. Рассматриваю произвольные

и

, тогда

, где

, аналогично

.

. Т.к.

и

попарно различны, то существует вершина

симплекса

, такая что

, откуда следует, что барицентрические координаты точек

и

- различны. Значит симплексы

и

не пересекаются. Положим, что

. Рассмотрим непустое множество

. Ясно, что симплекс

, натянутый на

принадлежит

. Положим, что

, тогда

, опять положим, что

, тогда в силу единственности барицентрических координат получаем, что

. Что и доказывает исходное утверждение.