Поверхностный интеграл.

[seriy21]

Вычислить площадь части эллиптического параболоида $2az = x^2 + y^2$, заключенного внутри цилиндра $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy$.
Нахожу $ds = \sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}}$.
Перехожу в полярные координаты: $r^2 = a^2\sin(2\varphi)$, $ds = r\sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}}$.
Цилиндр похож на повернутую восьмерку, интегрирую по одной из ее четвертинок: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int\limits_{0}^{a}r\sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}}dr = \frac{\pi a^2}{12}(2\sqrt{2}-1)$.
Соответственно, полная площадь $S = \frac{\pi a^2}{3}(2\sqrt{2}-1)$.
В учебнике ответ другой, хотелось бы узнать в чем ошибка.

[Henrylee]

Почему это внутренний интеграл берете от $0$ до $a$?

PS И небрежно опускаете дифференциалы переменных интегрирования

[seriy21]

А разве $r$ изменяется не от $0$ при $\varphi = 0$ до $a$ при $\varphi = \frac{\pi}{4}$?

[spaits]

seriy21 в сообщении #616572 писал(а):

А разве $r$ изменяется не от $0$ при $\varphi = 0$ до $a$ при $\varphi = \frac{\pi}{4}$?

Но область интегрирования - не прямоугольник.

[seriy21]

Должно быть так: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int\limits_{0}^{a\sqrt{\sin(2\varphi)}}r\sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}}dr$ ?
Если да, то в результате, если я не сделал ошибок в вычислениях, получается: $\frac{a^2}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}((1+\sin(2\varphi))^\frac{3}{2}-1)d\varphi$.
Но как-то, глядя на получившийся интеграл, мне кажется, что есть более изящный способ вычислить искомую площадь. Был бы благодарен за подсказку такового.

[spaits]

Интеграл берется легко. По формуле приведения перейдите к косинусу, примените формулу $1+\cos t=2\cos^2{\frac{t}{2}$; а потом взять интеграл от косинуса в кубе что за проблема?