a^2+b^2=2c^2

[ts0_9]

Пусть $a,b,c $ целые числа такие что $a^{2}+b^{2}=2c^{2}$ .Докажите что существует $m,n$ целые такие что $a=m^{2}+2nm-n^{2},b=n^{2}+2nm-m^{2},c=m^{2}+n^{2}$

[arqady]

Если $a=b=1$ и $c=-1$, то Вы такие $m$ и $n$ не найдёте. Имеются в виду неотрицательные целые числа.
Можно считать, что $a$, $b$ и $c$ нечётные.
Тогда если $a=2p-1$ и $b=2q-1$, то $c^2=(p-q)^2+(p+q-1)^2$,
что даёт пифагоровы тройки и завершает решение.
Решите в целых числах уравнение: $x^2+y^2=5z^2$.
Простое, конечно, но предыдущая идея не работает.

[DjD USB]

arqady в сообщении #616574 писал(а):

Решите в целых числах уравнение: $x^2+y^2=5z^2$.

Пусть x и у делятся на 5(тут два случая либо оба делятся, либо у одного остаток 1 у другого 4), тогда $x=5x_1, y=5y_1$. $25x_1^2+25y_1^2=5z^2$ Следовательно z тоже долже делится на 5 и т.д. в этом случае все равны нулю..

[maxal]

О таких уравнения подробно расписано в книге
Острик В.В., Цфасман М.А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые