Интеграла по области

[geniy88]

Здравствуйте!
Мне нужно доказать следующие равенства:

$\vec{x}\in \mathbb{R}^{n}, \int_{B^{0} (0,r)} 1 d \vec{x}=r^{n}\int_{B^{0} (0,1)} d\vec{x}$

$\vec{x}\in \mathbb{R}^{n}, \int_{\partial B^{0} (0,r)} 1 d \ S=r^{n-1}\int_{\partial B^{0} (0,1)} d\ S$

где $B^{0} (0, r)$ является открытым шаром.

можете подсказать книгу? подозреваю, что нужно пользоваться формулой Грина, но это только догадки.

[alcoholist]

Достаточно формулы замены переменной при преобразовании $\vec{x}\to\frac{1}{r}\vec{x}$

[geniy88]

можно расписать для первого пункта? думаю если увижу для первого, то для второго сам распишу. Тут как я понял интеграл имеет вид

$\int ... \int$ 1 dx_1 d\x_2 ... d\x_n а область $\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2} < r$

нужно ли писать, что $ \ x_1 \rightarrow \ x_1 / r$ ... $\ x_n \rightarrow \ x_n / r$

-- Ср сен 12, 2012 09:00:13 --

да, и еще один вопрос:

почему во втором пункте $\ r^{n-1}$, разве не $\ r^{n}$?

[alcoholist]

geniy88 в сообщении #617781 писал(а):

почему во втором пункте $\ r^{n-1}$, разве не $\ r^{n}$?

$dS$ -- форма степени $n-1$

geniy88 в сообщении #617781 писал(а):

можно расписать для первого пункта?

якобиан посчитайте -- стандартная же замена переменной

[geniy88]

все, сделал! Спасибо!