2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверить на рациональность
Сообщение08.09.2012, 23:18 
Является ли число рациональным? $$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$$
Обозначим для удобства $\sqrt5=a$. А исходное выражения за $x$.
$$\sqrt[3]{a+2}-\sqrt[3]{a-2}=x$$
$$x^3=4+3\sqrt[3]{a-2}\sqrt[3]{a+2}\bigg(\sqrt[3]{a+2}-\sqrt[3]{a-2}\bigg)$$
$$x^3-3x-4=0$$
Как показать, что полученное уравнение имеет иррациональный корень или рациональный...

 
 
 
 Re: Проверить на рациональность
Сообщение08.09.2012, 23:23 
Подсказка:
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице являются целыми числами. Корни такого многочлена являются делителями свободного члена.
Это про корни уравнения. А вот является ли Ваш $x$ корнем Вашего уравнения, нужно еще посмотреть.

 
 
 
 Re: Проверить на рациональность
Сообщение08.09.2012, 23:26 
muzeum в сообщении #616429 писал(а):
Подсказка:
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице являются целыми числами.

Как это доказать? Где можно прочитать доказательство?

Я знал, про то, что целые корни всегда следует искать среди делителей свободного члена. Ясно, что таких корней нет.

 
 
 
 Re: Проверить на рациональность
Сообщение08.09.2012, 23:33 
1. Сначала нужно доказать, что рациональный корень целого многочлена (так называют многочлен с единичным старшим коэффициентом над кольцом целых чисел). Для этого предположите, что $x$ записан несократимой дробью и подставьте это в уравнение. Домножением избавьтесь от знаменателя.
2. Целый корень целого многочлена делит свободный член. Доказательство состоит в перенесении свободного члена в другую часть и разложении на множители того, что осталось.

 
 
 
 Re: Проверить на рациональность
Сообщение08.09.2012, 23:39 
muzeum, спасибо, разобрался.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group