конечные множества

[milib]

Помогите разобраться:

Доказать что, если $A$ конечное множество, то существует такое натуральное $n$ , что $A \leftrightarrow \{1,...,n\}$.

Можно ли это доказать методом матиндукции или есть иное доказательство?
Думаю, что можно еще доказать от обратного, а как доказать это прямым путем и без индукции?

[Joker_vD]

Перво-наперво: какое у вас определение конечного множества?

[milib]

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

[apriv]

milib в сообщении #615983 писал(а):

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

Отлично, а что такое «количество элементов»?

[Padawan]

apriv в сообщении #615996 писал(а):

milib в сообщении #615983 писал(а):

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

Отлично, а что такое «количество элементов»?

И что значит, что оно конечно ?

[milib]

Конечное множество не имеет подмножества (отличного от самого множества) эквивалентного самому множеству. Из множества можно выбрать (аксиома) и удалить элемент. На каждом i-м шаге этому натуральному i ставим в соответствие выбранный элемент множества. Этот процесс конечный, т.е. существует такой шаг n, после которого из множества будут выбраны все элементы. В результате получим взаимно однозначное соответствие между первыми n натуральными числами и элементами множества.
Так можно?

[xmaister]

milib в сообщении #616082 писал(а):

онечное множество не имеет подмножества (отличного от самого множества) эквивалентного самому множеству.

Это означает, что оно не является бесконечным.

milib в сообщении #616082 писал(а):

Этот процесс конечный

Не понял. Может лучше назвать множество $A$ конечным, если существует $n\in\mathbb{N}$ и существует биекция $f:A\to\{1,2,\ldots ,n\}$?

[Профессор Снэйп]

Я слышал, есть два определения конечного множества:

1) Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому натуральному числу (то есть конечному ординалу).
2) Множество называется конечным, если оно не равномощно никакому собственному подмножеству.

Эти два определения эквивалентны с аксиомой выбора, а без аксиомы выбора не эквивалентны.

Ну и тут правильный вопрос был задан: что следует считать определением конечного множества. Если первое, то ничего доказывать не надо. А если второе, то надо брать ординал, равномощный данному множеству, предполагать, что он бесконечен, устраивать биекцию этого ординала на собственное подмножество, переносить эту биекцию на исходное множество и получать противоречие. Требуется теорема о том, что любое множество можно вполне упорядочить, она как раз аксиоме выбора и равносильна.

[arseniiv]

milib в сообщении #616082 писал(а):

Из множества можно выбрать (аксиома) и удалить элемент.

Не получается из $\varnothing$.

[Deggial]

Последующее обсуждение отделено в новую тему Конечные множества, ZF