Группа подстановок

[xmaister]

Добрый день! Я доказываю, что каждая подстановка разлагается произведение независимых циклов. Такое доказательство формально корректно? Пусть $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ и $\sigma\in S_n$. Для каждого $m\in N$, очевидно, существуют $k,l\in\mathbb{N}, k<l$, такие что $\sigma^{k}(m)=\sigma^{l}(m)$, откуда $\sigma^{l-k}(m)=m$. Значит для всякого $m\in N$ существует $s_m\in\mathbb{N}$, такое что $\sigma^{s_m}(m)=m$. Рассмотрим отношение эквивалентности на $N$, такое что $n\sim m\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{N}:\sigma^{k}(n)=m$, имеем $N/\sim =\{A_k|1\le k\le n\}$. Пусть $x_k\in A_k$, тогда $A_k=\{\sigma^{n}(x_k)|n\in\mathbb{N}\}$. Определим $f_k:N\to N$, такое что $f(x)=x,x\not\in A_k$, и $f_k(\sigma^{n}(x_k))=\sigma^{n+1}(x_k)$. Откуда $\sigma=f_1\circ\ldots\circ f_k$.

[nnosipov]

По модулю опечаток всё в порядке. Только зачем этот формализм? Утверждение-то пустяковое.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #615541 писал(а):

Утверждение-то пустяковое.

Ну да, а разве доказательство каждого утверждения не должно быть строго формализовано?

-- 06.09.2012, 17:28 --

nnosipov в сообщении #615555 писал(а):

По модулю опечаток всё в порядке.

Какой опечаток?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #615555 писал(а):

Ну да, а разве доказательство каждого утверждения не должно быть строго формализовано?

Формально --- да. А неформально --- ну, очевидно же, чего время тратить. Впрочем, в учебных целях это вполне разумное упражнение.

xmaister в сообщении #615555 писал(а):

Какой опечаток?

Я смотрел до того, как Вы их исправили.