существование решения уравнения Сильвестера и результант.

[mrgloom_]

пытаюсь решить частный случай уравнения Сильвестера
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_equation
в моем случае это выглядит как






тут предложено 2 метода проверки на существование нетривиального решения
http://math.stackexchange.com/questions/17...vester-equation
математика сложная(по крайней мере для меня)

во-первых нужно проверить эти условия на правильность.
во-вторых хотелось бы по известной матрице $A$ определить(если не всё множество) , то хотя бы несколько вариантов удовлетворяющих этим условиям матрицы $B$.
в-третьих хотелось бы понять как на эти условия действует некоторая погрешность в матрице $B$

тут мои изыскания в программе Mathematica.
проверяю на существование не тривиального решения
через первый критерий

Цитата:

NullSpace[KroneckerProduct[IdentityMatrix[3],A]-KronekerProduct[B,IdentityMatrix[3]]]

выдает {}
матрицы задавал как

Цитата:

A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}
B={{b11,b12,b13},{b21,b22,b23},{b31,b32,b33}}

так же пробовал

Цитата:

A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}
B={{b11,b12,b13},{b21,b22,b23},{b31,b32,1}}

хотелось бы узнать как по матрице A

Цитата:

A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}

можно найти хотя бы 1 матрицу B которая будет удовлетворять вышеописанному условию?

так же пробовал через другое эквивалентное условие.

Цитата:

Resultant[Det[A-x IdentityMatrix[3]],Det[-B-x IdentityMatrix[3]],x] =0

хотя возможно оно выглядит так

Цитата:

Resultant[Det[A-x IdentityMatrix[3]],Det[B-x IdentityMatrix[3]],x]=0

вопрос опять же остается,
хотелось бы узнать как по матрице A

Цитата:

A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}

можно найти хотя бы 1 матрицу B которая будет удовлетворять вышеописанному условию?


на первый взгляд условие через результант выглядит проще, т.к. получается уравнение от 9 неизвестных, но непонятно как его решать.

[alcoholist]

mrgloom_ в сообщении #603469 писал(а):

в моем случае это выглядит как

непонятно что за минусы там... и как второе от третьего отличается

[mrgloom_]

если вы про первые 3 уравнения, то первое уравнение это моё уравнение, а 3 уравнение это общий вид уравнения Сильвестера, возможно за исключением минуса, но можно написать и $B'=-B$
я как бы хотел показать, что моё уравнение это частный случай уравнения Сильвестера.

[Vitalius]

Вообще, обычно говорят "Уравнения Сильвестра". О них можете прочитать в книге Г.В. Демидова "Матричные уравнения" (2009)! Программа Mathematica вполне нормально реагировала на ваши попытки решать уравнение Сильвестра. В общем следует выбирать невырожденные матрицы A и B.

[Xaositect]

На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у фундаментальных решений $X$ столбцы являются собственными векторами $A$, а транспонированные строки - собственными векторами $B^{T}$
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

[mrgloom_]

Vitalius в сообщении #615415 писал(а):

В общем следует выбирать невырожденные матрицы A и B.

А разве у меня вырожденные?

Цитата:

На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у решения столбцы являются собственными векторами , а транспонированные строки - собственными векторами
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

не понял, ну допустим я нашел собственные вектора у $A$ и $B^{T}$ я сразу могу составить матрицу $X$?

[Xaositect]

mrgloom_ в сообщении #615455 писал(а):

Цитата:

На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у решения столбцы являются собственными векторами , а транспонированные строки - собственными векторами
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

не понял, ну допустим я нашел собственные вектора у $A$ и $B^{T}$ я сразу могу составить матрицу $X$?

Фундаментальными решениями будут матрицы вида $a\otimes b^{T}$, где $Aa = \lambda a$, $B^{T}b = \lambda b$. То есть берем собственный вектор $A$, записываем его в столбец, берем с.в. $B^T$, записываем его в первую строку, а дальше заполняем матрицу так, чтобы все строки были пропорциональны.
А общее решение - любая их линейная комбинация.