Различность фигур.

[Sirion]

Нормированной фигурой назовём подмножество плоскости, имеющее жорданову меру 1 и определённое с точностью до движения плоскости. Пусть А и В - нормированные фигуры. Тогда их схожестью назовём максимальную площадь пересечения этих фигур среди всех возможных наложений их друг на друга. Различность нормированных фигур определим как единицу минус схожесть.

Верно ли, что различность является метрикой на множестве нормированных фигур?

[MajorUrsus]

Правильно ли я понимаю, что различность есть расстояние?
Но тогда должны быть верны аксиомы расстояния.
Аксиома $d(A, B)=0 \rightarrow A=B$ не выполняется: у фигур могут быть щупальца из отрезков кривых (типа бактерии с хвостиком).
Остальные аксиомы выполняются.
Главный вопрос - неравенство треугольника.
Рассмотрим какую-либо нормированную фигура A. Выполним следующую операцию (назовем ее операцией повара - как будто он работает с лепешками из сырого теста): "отрежем" от A кусок (куски) общей жордановой меры s, затем создадим какие-либо вообще говоря другие куски жордановой меры s и приставим их к остаткам фигуры A, получим фигуру B. Назовем эту операцию P(A, B). Число s назовем нормой операции $\mid P(A, B)\mid = s$.
Суперпозиция двух операций повара P(A, B) и P(B, C) является также операцией повара P(A, C), причем
$\mid P(A, C)\mid \le \mid P(A, B)\mid + \mid P(B, C)\mid$ - неравенство или равенство определяется тем есть ли общие части у переделываемых кусков теста.
Из этого неравенства следует выполнимость неравенства треугольника:
различность$(A, C) \le $различность$(A, B) +$различность$(B, C)$.

[alcoholist]

Sirion в сообщении #613224 писал(а):

Верно ли, что различность является метрикой на множестве нормированных фигур?

а зачем тут нормированность?

Почитайте про метрику Громова-Хаусдорфа

[Day]

Но псевдометрикой все-таки будет

[Sirion]

Да, действительно, забыл добавить условие замкнутости. Прошу прощения за некропостинг.