2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 пример из журнала "Потенциал".
Сообщение04.09.2012, 23:00 
Аватара пользователя
Читаю журнал Потенциал №1 2005 года. Одно крошечное место в одном примере не понятно.
Решите уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|+1}=\left|x+7\right|-1$.
Решение:
Здесь сначала удобно сделать замену переменных. Пусть $t=\left|x+7\right|$, тогда уравнение $\left|x+7\right|-1=\sqrt{\left|(x+7)^2-2\right|-1}$ примет вид $\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1.$ Решим его.
$\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1\;\; \Leftrightarrow$ $
\begin{cases}
t\geqslant 0,\\
\left|t^2-2\right|-1=t^2-2t+1\\
\end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases}
t\geqslant 0,\\
\mathbf{\left|t^2-2\right|=t^2-2t+2\equiv (t-1)^2+1>0.}\\
\end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases}
t\geqslant 0,\\
\begin{bmatrix} 
t^2-2=t^2-2t+2,\\
t^2-2=-t^2+2t-2.
\end{.}\\
\end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases}
t\geqslant 0,\\
\begin{bmatrix} 
t=2,\\
t=0,\\
t=1.
\end{.}\\
\end{cases} \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix} 
t=2,\\
t=1.
\end{.} \Rightarrow $$\begin{bmatrix} 
\left|x+7\right|=2,\\
\left|x+7\right|=1.
\end{.} \Leftrightarrow$$
\begin{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 
x=-5,\\
x=-9,
\end{.}\\
\\
\begin{bmatrix} 
x=-6,\\
x=-8.
\end{.}
\end{.}
$

Непонятный момент выделен жирным шрифтом. Вопрос: Зачем проверяется правая часть уравнения на неотрицательность? А если бы правая часть уравнения не всегда была больше нуля, как бы изменился дальнейший ход решения? Заранее, спасибо.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение04.09.2012, 23:49 
larkova_alina, я бы сказал $t \ge 1$.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение04.09.2012, 23:51 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #614935 писал(а):
larkova_alina, я бы сказал $t \ge 1$.

Да, Вы правы. Но а что с вопросами-то?

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение04.09.2012, 23:54 
Аватара пользователя
Дык, уравнение $\lvert x\rvert=-1$ корней не имеет.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение04.09.2012, 23:59 
То, что жирным шрифтом выделено. Там имеется ввиду, что модуль всегда положительное число. То есть уравнение $|x|=-1$ решений не имеет. И когда мы решаем уравнение $|x|=x-12$, то мы учитываем, что при $x<12$ решений нет.

-- 05.09.2012, 00:00 --

Someone, Вы быстрее написали :-)

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 00:51 
Аватара пользователя
А если бы правая часть "жирного" уравнения была бы не всегда неотрицательно, а при некоторых $t$ становилась отрицательной? Чтобы тогда изменилось?

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 00:56 
Аватара пользователя
А пришлось бы, снимая модуль, наложить дополнительное условие, что правая часть неотрицательна.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 08:21 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #614947 писал(а):
А пришлось бы, снимая модуль, наложить дополнительное условие, что правая часть неотрицательна.

Нас учили уравнения с модулем решать так:
$\left|f(x)\right|=g(x) \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix}\begin{cases}
f(x)\geqslant 0,\\
f(x)=g(x).
\end{cases}\\
\;\;\,\begin{cases}
f(x)< 0,\\
f(x)=-g(x).
\end{cases}
\end{.}$
И не про какие условия на правую часть нам ничего не говорили.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 10:13 
Почему же? Вот же они, неявно указаны в этих скобках: $g(x)\geqslant0$.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 10:26 
Аватара пользователя
Joker_vD в сообщении #614998 писал(а):
Почему же? Вот же они, неявно указаны в этих скобках: $g(x)\geqslant0$.

Вроде поняла.
$\left|f(x)\right|=g(x) \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix}\begin{cases}
f(x)\geqslant 0,\\
f(x)=g(x).
\end{cases}\\
\;\;\,\begin{cases}
f(x)< 0,\\
f(x)=-g(x).
\end{cases}
\end{.} \Leftrightarrow$$\begin{bmatrix}\begin{cases}
g(x)\geqslant 0,\\
f(x)=g(x).
\end{cases}\\
\;\;\,\begin{cases}
g(x)\geqslant 0,\\
f(x)=-g(x).
\end{cases}
\end{.}$
При решении можно пользоваться любой из этих систем. Так?

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 11:32 
larkova_alina, лучше решайте с помощью первой.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 19:33 
Уравнение решено неверно.Оно корней не имеет (по крайней мере вещественных).

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 21:11 
Nacuott, подставьте хотя бы $x=-5$ и убедитесь, что Вы не правы.

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение05.09.2012, 23:28 
larkova_alina в сообщении #614916 писал(а):
Читаю журнал Потенциал №1 2005 года. Одно крошечное место в одном примере не понятно.
Решите уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|+1}=\left|x+7\right|-1$.


Keter в сообщении #615255 писал(а):
Nacuott, подставьте хотя бы $x=-5$ и убедитесь, что Вы не правы.

Может, я где-то в арифметике ошибся, но вышло так:
$ \sqrt{\left|\left( -5 \right)^2+14\left( -5 \right)+47\right|+1}=\left|-5+7\right|-1 $
$ \sqrt{\left| 25 - 70 +47\right|+1}=\left|2\right| -1 $
$ \sqrt{\left|72 - 70\right|+1}=2 - 1 $
$ \sqrt{\left|2\right|+1}=1 $
$ \sqrt{2+1}=1 $
$ \sqrt{3}=1 $

larkova_alina в сообщении #614916 писал(а):
Решение:
Здесь сначала удобно сделать замену переменных. Пусть $t=\left|x+7\right|$, тогда уравнение $\left|x+7\right|-1=\sqrt{\left|(x+7)^2-2\right|-1}$ примет вид $\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1.$ Решим его.

Может, $\sqrt{\left| t^2-2\right|+1}=t-1$?

 
 
 
 Re: пример из журнала "Потенциал".
Сообщение06.09.2012, 12:42 
Аватара пользователя
Asker Tasker, у меня описка.
На самом деле исходное уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|-1}=\left|x+7\right|-1$.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group