Непрерывная справа функция (мощность множ-ва точек разрыва)

[Юстас]

Может ли мощность множества точек разрыва непрерывной справа функции быть более чем счетным?

[RIP]

Пусть $f\colon[a;b)\to\mathbb{R}$ непрерывна справа. Для $\varnothing\ne A\subset[a;b)$ обозначим

$$\mathop{\rm osc}\limits_Af=\sup_{x,y\in A}(f(x)-f(y))\in[0;+\infty]$$

(колебание функции $f$ на множестве $A$).
Рассмотрим функцию $g\colon(a;b)\to[0;+\infty]$,

$$g(x)=\lim\limits_{\varepsilon\downarrow+0}\mathop{\rm osc}\limits_{(x-\varepsilon;x+\varepsilon)\cap(a;b)}f.$$

Тогда множество точек разрыва функции $f~-$ $\{x\in(a;b)\mid g(x)>0\}=\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}A_N$, $A_N=\{x\in(a;b)\mid g(x)\geqslant\frac1N\}$.
Теперь осталось воспользоваться следующими двумя очевидными наблюдениями

1) $A_N$ вполне упорядочено (относительно обычного порядка на $\mathbb{R}$). Действительно, допустим, что найдутся $x_n\in A_N$, $x_1>x_2>x_3>\ldots$. Тогда в точке $x_0=\lim x_n$ функция $f$ не будет непрерывна справа. Противоречие.

2) Любое вполне упорядоченное множество $A\subset\mathbb{R}$ (с обычным отношением порядка) не более чем счётно. Действительно, для любого $x\in A$ найдётся $\varepsilon_x>0$ такое, что $(x;x+\varepsilon_x)\cap A=\varnothing$, причём интервалы $(x;x+\varepsilon_x)$ для разных $x\in A$ попарно не пересекаются.

[PAV]

Это достаточно стандартная задача, убираю из Олимпиадных

[Юстас]

PAV: не сказал бы, что средний(и даже хороший) студент способен с ней быстро справиться.

[PAV]

Наверное, так. Но все равно пусть будет здесь

[finanzmaster]

А кстати, хорошая задачка!
И имеет отношение к финансовой математике!

Вот, например, в Шриве в последней главе речь идет о моделях со скачками. Причем прыгучий процесс всегда cadlag (непрерывный справа).

Далее там в стохастическом интеграле появляется pure jump part:

$$ \sum\limits_{0 < s \le t} {\Phi (s) \cdot \Delta J(s)} $$

Шрив рассматривает только процессы с конечным числом скачков, но говорит, что по аналогии можно легко рассматривать и случай, когда их бесконечно много.
Я сомневался, что все так просто - т.к. вдруг их число будет более чем счетно, и как тогда понимать вышеуказанную сумму?!
Ан нет, т.к.

$$ J(t) $$

- cadlag, то такой проблемы не возникнет