Помогите с диффуром

[Limit79]

Подскажите, пожалуйста, как решить этот диффур? С чего начать хотя бы. Заранее спасибо.

$y''+18sin(y)\cdot cos^3(y)=0 ,y(0)=0,y'(0)=3$

[Someone]

Умножить обе части на $2y'dx=2dy$; при этом $y''dx=dy'$.

[Limit79]

Someone
Получилось $2y'dy'+36sin(y)*cos^3(y)dy=0$

А дальше что делать?

[miflin]

Интегрируйте. Один член по переменной $y'$, другой - по $y$

[Limit79]

miflin
Получилось $y'=\pm \sqrt{9cos^4(y)+C_{1}}$
В это выражение я подставляю $y(0)=0,y'(0)=3$, получается $3=\pm \sqrt{9+C_{1}}$, далее нахожу $C_{1}=0$, получается $y'=\pm \sqrt{9cos^4(y)}$. Далее $y'=\pm 3cos^2(y)$, т.е. $\frac{dy}{cos^2(y)}=\pm 3dx$, потом интегрирую, получаю: $tg(y)=\pm 3x + C_{2}$, ну и $y=arctg(\pm 3x + C_{2})$. Потом с учетом $y(0)=0$ нахожу $C_{2}=0$, и окончательный ответ $y=arctg(\pm 3x)$.

Подскажите, пожалуйста, правильно я решил?

[Someone]

А что, оба знака годятся, и "$+$", и "$-$"?

P.S. Синус, косинус, тангенс, арктангенс и т.п. кодируются как \sin, \cos, \tg, \arctg... (с пробелом после наименования функции: $\sin x$, $\cos x$, $\tg x$, $\arctg x$...).

[Limit79]

Someone
Проверил, $y=\arctg(-3x)$ не подходит, а не подскажите, на каком шаге это нужно исключить?

Хотя нет, оба же подходят вроде.

При $\arctg(3x) $, у $y''$ знак "$-$", а у $18 \sin(y) \cos^3(y)$ - "$+$", при $\arctg(-3x)$ знаки наоборот, т.е. $ и "$-$", а выражения одинаковые. т.е. в обоих случаях получается 0.

[Someone]

Во второй строчке Вашего решения, как только Вы подставили $y(0)$ и $y'(0)$. Там же сразу видно, какой знак подходит, какой - нет.

[Limit79]

А, действительно, там же перед корнем минус не подходит, ибо с другой стороны положительное число.

Огромное спасибо за помощь, господа.

[Mitrius_Math]

А ещё можно положить $y'=p(y); \ y''=p'p$.

[miflin]

Mitrius_Math в сообщении #614899 писал(а):

А ещё можно положить $y'=p(y); \ y''=p'p$.

По сути это то же, что предложил Someone.
Однако в таких вещах лучше записывать производные в виде отношения
дифференциалов, иначе вот здесь - $y''=p'p$ - штрихи слева
и справа могут у некоторых ассоциироваться с дифференцированием
по одной и той же переменной, в то время как слева по иксу, а справа - по игреку.